بحث عن ضرب المصفوفات

المصفوفات هي عبارة عن مجموعة على هيئة شكل

مستطيل

، تتكون من أرقام أو كلمات أو رموز ، و هذه المكونات الموجودة بداخلها تعرف باسم الإدخالات أو العناصر ، و يطلق عليها المصفوفة لأن جميع العناصر يتم ترتيبها في مجموعة من الأعمدة جنبا إلى جنب أو في صف واحد ، و تعرف المصفوفات بأنها مكونة من نوعين ، النوع الأول هو المصفوفة الحقيقية ، أما النوع الثاني هي المصفوفة المعقدة ، و غالبا تكون الإدخالات بها هي أرقام حقيقية أو مركبة ، و تعرف المصفوفة بشكلها التقليدي المكون من عدة صفوف مرتبة بطريقة رأسية أو أفقية .

تاريخ المصفوفات


و المصفوفات لها تاريخ عريق و الذي قد بدأ مع اكتشافها في العام 1800 م ، و ظلت عبر الزمان تستخدم في العديد من المعادلات الخطية و الرياضية حول العالم ، حتى وصلت إلى الصين و عبرت العالم أجمع حتى تعرف عليها العالم و أصبحت عامل أساسي و مهم في جميع المجالات المختلفة للعلوم حول العالم ، و لا يمكن الاستغناء عنها .

شكل المصفوفة و حجمها


و تتكون المصفوفة من الأعمدة الرأسية و الصفوف الأفقية ، و تعرف المصفوفة في

الرياضيات

بالرمز ( م ن ) ، أما أعمدة المصفوفة فيرمز لها بالرمز ( و م x ن ) ، أما أبعاد المصفوفة تعرف بالرمز ( م و ن ) ، و الجدير بالذكر أن المصفوفة لها عدة أشكال منها المصفوفة ذات الصف الواحد و التي تعرف باسم نواقل التوالي ، و هناك مصفوفة ذات العمود الواحد و التي تعرف باسم ناقلات العود ، أما المصفوفة التي تملك عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة تعرف باسم المصفوفة المربعة ، نسبة إلى شكلها المربع ، أما المصفوفة ذات عدد كبير من الصفوف و الأعمدة و التي من الصعب تحديده تعرف باسم المصفوفة اللا نهائية ، و أخر شكل للمصفوفات هي المصفوفة الفارغة و التي لا تحتوي على أعمدة أو صفوف .

ضرب المصفوفات


هو عملية حسابية تقام على المصفوفة ، حيث يتطلب ضرب عدد معين أو مصفوفة معينة في مصفوفة أخرى ، و يطلب نتيجة عملية الضرب ، و هذه العملية لها اسم باللغة الإنجليزية هو Matrix multiplication ، و تعرف غالبا هذه العملية باسم صرب المصفوفات العادي و التي سيتم شرحها تاليا :

سوف نستخدم واحدة من أسهل عمليات ضرب المصفوفات و التي تعتبر مهمة في الرياضيات ، وهي التي تكون بين المصفوفات A وB و التي تعتمد على أن يكون عدد الأعمدة للمصفوفة الأولى متساوي لعدد الصفوف للمصفوفة الثانية ، و ذلك لتكون A من درجة m×n، وB من درجة n×p ، و بذلك فإننا نجد أن نتيجة العملية هي C=A⋅B من درجة m×p. ووفق نفس المنطق .

أما إذا قمنا بعمل عملية ضرب لسلسلة من المصفوفات و التي تمتع بدرجات n1×n2، n2×n3 وnk−1×nk، فسوف نجد أن نتيجة ضرب هذه المصفوفة سوف تكون من درجة n1×nk ، و بذلك فإننا نجد أن هذه المصفوفات عند تعرضها لعملية الضرب لا تكون عملية تبديلية ، و ذلك لأنها لا يمكن أن يكون الضرب عملية معرفة ، إذا قمنا باستبدال المصفوفتان .

أما إذا تابعنا هذه العملية Cm×q=Am×n⋅Bn×q  فإننا سوف نجد أن حساب كل عنصر من المصفوفة هو نتيجة عملية الضرب ، و ذلك من خلال المعادلة التالية : ci,j=∑k=1nai,k⋅bk,j.

و بذلك فإننا نجد العنصر الموجود في صف i  و العمود J يعتبر هو ضمن المصفوفة ذات نتيجة عملية الضرب و التي تستخدم لحساب الجداء الداخلي للمتجهين المكونين من الصف i من المصفوفة الأولى و العمود j  من المصفوفة الثانية و من الممكن فهم هذه العملية من المعادلة التالية : [⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a3,1a3,2a3,3a3,4]⏞A3×4[⋅⋅⋅b1,4⋅⋅⋅⋅b2,4⋅⋅⋅⋅b3,4⋅⋅⋅⋅b4,4⋅]⏞B4×

5=[⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅c3,4⋅]⏞C3×5

إذ يتحقّق: c3,4=a3,1⋅b1,4+a3,2⋅b2,4+a3,3⋅b3,4+a3,4⋅b4,4

– و الجدير بالذكر أن في هذه المصفوفات لا تكون عملية الضرب بينهما عبارة عن عملية تبديلية عامة ، بل إنها عملية تبديلية معرفة مثل AB≠BA .

و هناك بعض الخواص الخاصة بضرب المصفوفات العادي منها


– يمكن عمل استثناء بالنسبة للخاصة السابقة ، و ذلك لأن المصفوفتين هما قطريتين ، و ذلك فإن قمنا بها تكون عملية الضرب تديلية .

– عملية ضرب المصفوفات تعتبر عملية تجميعية ، حيث أن :

(AB)C=A(BC).

– أما إن كانت عملية ضرب المصفوفات هي عمليه توزيعية فسوف تكون :

A(B+C)=AB+AC

A+B)C=AC+BC)