بحث عن متوازي الاضلاع
المقصو
د بمتوازي الاضلاع (Parallelogram) :
هو شكل هندسي رباعي مجموع زواياه 360 درجة ، فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ، فمثلاً إذا نظرنا إلى الشكل المقابل سنجد أن الضلع
(AB)
يوازي الضلع المقابل له
(DC)
، والضلع
(DA)
يوازي الضلع المقابل له (
(CB
،كما نلاحظ أن أى مستقيم يمرّ بمركز متوازي الأضلاع يقوم بتقسيمه إلى شكلين متطابقين.
خصائص متوازي الاضلاع :
– كل ضلعين متقابلين متطابقين : أي متساويين في الطول ، بمعنى أن الضلع
(AB)
يطابق الضلع
(DC)
، والضلع
(DA)
يطابق الضلع (
(CB
.
– كل زاويتين متقابلتين
متساويتين
: بمعنى أن الزاوية
(A)
تطابق الزاوية
(C)
، والزاوية
(B)
تطابق الزاوية
.(D)
– الزوايا المتحالفة متكاملة ، ويُقصد بالزوايا المتحالفة هي الزوايا التي تنتج من تقاطع مستقيمين متوازيين مع مستقيم آخر ، فمثلاً في
الشكل
السابق المستقيم
(AB)
يوازي المستقيم
(DC)
ويقطعهما المستقيم
(DA)
، وينتج من هذا التقاطع زوايتين وهما
(A)
و
(D)
،
و یکون هاتان الز
اويتان متحالفتين ومتكاملتين أى أن مجموعهما يساوي 180 درجة. وعلي نفس هذا الأساس ستكون الزاويتان (
(B
و
(A)
متحالفتین ومتکاملتین
، وكذلك الزاويتان
(B)
و
(C)
، والزاويتان
(C)
و
(D)
.
– إذا كانت إحدى زوايا المتوازي قائمة فإن كل الزوايا تصبح قائمة ، وذلك لأن كل زاويتين متقابلتين متطابقتين ، فبالتالي وجود إحدي هذه الزوايا بقيمة 90 درجة يجعل كل الزوايا التي تطابقها 90 درجة أيضاً.
– القطران ينصّف كل منهما الآخر ، فكل قطر يقسم القطر الثاني إلى قسمين متساويين. ففي الشكل لدينا قطران القطر الأول هو
(AC)
والثاني هو
(BD)
، وبذلك يكون
(AE)
يساوي
(EC)
، و
(DE)
يساوي
(EB)
.
محيط
متوازي الاضلاع :
من المعروف أن محيط أي شكل من الأشكال المضلّعة يساوي مجموع أطوال أضلاع ذلك المضلّع ، و تبعاً لخصائص متوازي الاضلاع فقد تم دمج القاعدة العامة للأشكال المضلّعة مع خصائصه ليكون محيطه يساوي مجموع طولي الضلع الأكبر مع الضلع الأصغر مضروباً في اثنين .
إرتفاع متوازي الاضلاع :
يُقصد بإرتفاع متوازي الاضلاع هو طول العمود النازل من أحد رؤوسه على الضلع المقابل أو امتداده ، ففي الشكل الذى بالأسفل ، العمود
(H1)
هو الإرتفاع المتعلّق بالضلع أو القاعدة
(AB)
، وأيضاً العمود
(H2)
هو الإرتفاع المتعلّق بالضلع أو القاعدة
(BC)
.
مساحة متوازي الاضلاع :
يمكن حساب مساحة متوازي الاضلاع من خلال ثلاثة أشياء : بدلالة القاعدة ، بدلالة الزاوية ، بدلالة مساحة المثلث.
– مساحة متوازي الاضلاع بدلالة القاعدة = طول القاعدة مضروباً في طول الإرتفاع المتعلّق بهذه القاعدة
– مساحة متوازي الاضلاع بدلالة الزاوية = طول الضلع الأول مضروباً في طول الضلع الثاني الذي يجاوره ومضروباً في جيب الزاوية ، مع معرفة أن جيب الزاوية هو طول الضلع المقابل لهذه الزاوية مقسوماً على الوتر في مثلث زاويته قائمه ويكون الوتر هو الضلع المقابل لهذه الزاوية.
– مساحة متوازي الاضلاع بدلالة مساحة المثلث = ضعف مساحة المثلث ، مع معرفة أن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروباً في الإرتفاع.
حالات خاصة لمتوازي الاضلاع :
يُعتبر كلاً من المربع والمستطيل والمعين حالات خاصة من متوازي الاضلاع ، فقد أصبح لهم خصائص مختلفة قليلاً ميّزتهم عنه وهي :
– المربع : جميع أضلاعه متساوية في الطول ، وكل زواياه قوائم وله أقطار متعامدة.
– المستطيل : كل زواياه قوائم ، و كل أقطاره متساوية في الطول.
– المعيّن : كل أضلاعه متساوية ، وقطراه متعامدين.
تمارين :
تمرين (1):
متوازي اضلاع مساحته
36cm
2
وارتفاعه
4cm
فما هو طول القاعدة؟
الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = طول القاعدة
× الارتفاع
طول قاعدة متوازي الأضلاع = مساحته ÷ طول الارتفاع
طول القاعدة =
36
÷
4
=
9 cm
تمرين (2) :
في الشكل الذي بالأسفل ،
ABCD
متوازي أضلاع فيه :
AF=9cm
،
CB=8cm
،
AN=6cm
احسب طول
DC
الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = طول القاعدة
× الارتفاع
المساحة
=
CB
×
AF
=
9
×
8
إذاً المساحة =
72 cm
2
ومن قانون المساحة = طول القاعدة
× الارتفاع
المساحة =
DC
×
AN
72
=
DC
×
6
DC
=
72
÷
6
=
12 cm
تمرين (3) :
متوازي أضلاع طول قاعدته 6 cm وارتفاعه 4cm، فما مساحته واذا كان طول ضلعه المجاور 5 cm فما طول ارتفاعه الأكبر
الحل :
مساحة متوازي الاضلاع = القاعدة × الأرتفاع
المساحة = 6×4= 24 cm
2
ارتفاعه الأكبر = المساحة ÷ القاعدة الصغرى
الارتفاع = 24 ÷ 5 = 4.8 cm