شرح درس حل معادلات تتضمن متغيرات في طرفيها

سوف ندرس اليوم واحد من أهم الدروس في الصف الثالث متوسط في مادة الجبر ، و الذي يعرف بأنه من أهم الدروس التي يعتمد عليها مادة الجبر ، و هو طريقة شرح و حل المعادلات و التي تحتوي على متغيرات في طرفيها ، و هذا الدرس يوجد في الفصل السابع من مادة الجبر ، حيث أنه يتناول شرح طريقة حل المتغيرات بصفة عامة ، كما أنه سوف نتعرف على مفهوم المتغير و كيفية التعرف على قيمته الحقيقية ، و كيفية التحقق من الإجابة أيضا ، فلنبدأ الشرح .

تعريف معادلات تتضمن متغيرات في طرفيها

وهي معناها أن هذه المعادلة أن يتم ضرب “عددًا غامضًا” ص مثلاً في 5 ثم طرحت 1 ، فستكون الإجابة 19، فلإيجاد قيمة ص ، تحتاج إلى العودة للخلف للحصول على قمية ص بمفردها ونظرًا لأن عملية الطرح تتم أخيرًا فهذا هو أول شيء يجب التراجع عنه، كيف تلغي طرح 1 فقد تحتاج إلى استعمال العملية العكسية وإضافة 1 إلى كلا الجانبين، وتذكر دائمًا أن تفعل الشيء نفسه على كلا طرفي المعادلة للحفاظ على توازن الأشياء.

مفهوم المتغيرات

و قبل أي شيء فإنه من الجدير بالذكر التعرف على معنى المتغير ، فهي كلمة دوما ما تتردد في المعادلات الحسابية و الرياضية ، و هي عبارة عن رمز تمثلي ، يتم الإشارة به عن كمية أو قيمة رقمية معينة ، و التي منها يمكن أن تكون درجة حرارة أو مقدار ارتفاع مبنى معين ، أو طول أو عرض أضلاع الأشكال الهندسية بصفة عامة ، و غالبا ما تكون ضمن هذه الرموز ( أ ، ب ، ج ، د ، ز ، ر ، س ، ص ، ض ، ط ، ع ، ق ، ك ، ل ، م ، ن ، هـ ، و ) و هي مأخوذة من الحروف الأبجدية حسب الترتيب أو هي اختصار لكلمة معينة ، فمثلا الطول يرمز له بحرف ل ، و العرض يرمز له حرف ض ، و المحيط يرمز له حرف ط ، و غيرها من الكلمات الأخرى .

و تعتبر هذه المتغيرات هي أساس

المعادلات الرياضية

، و تكون غالبا قيمتها مجهولة و يقوم بطلب قيمتها في المسألة ، كما أنها قابلة للتغير في كل مسألة ، و دوما ما نعرف أن المتغيرات تتناقض مع الثوابت في المسائل ، و التي تكون غير قابلة للتغيير ، و من المعروف أن المتغيرات ليست في الجبر فقط ، و لكنها تستخدم في الكثير من المجالات الرياضية منها الهندسة ، و التفاضل و الإحصاء و حساب المثلثات أيضا .

حل المعادلات التي تتضمن المتغيرات في طرفيها

و دوما ما نعرف المعادلات في المسائل الرياضية على هذا الشكل : 8 + 4س = 5س ، حيث نجد اثنان من المتغيرات على كلا من طرفي المعادلة ، و لكي نتمكن من حل هذه المعادلة ، يجب أن نستعمل خاصية الجمع أو الطرح ، و ذلك لكي يصبح جميع المتغيرات في طرف واحد ، مما يجعلنا نستطيع حل المعادلة و معرفة قيمة المتغير في النهاية.[1]

استكشاف معادلات تتضمن متغيرات في طرفيها

• س: 3 س + 2 س = 12 – س
  
  بسّط: 5x = 12 – x
  
  احصل على المتغير في جانب واحد:
  
  5 س + س = 12 – س + س
  
  6 س = 12
• حل باستخدام العمليات العكسية:
  
  س = 2
  
  تحقق: 3 (2) + 2 (2) = 12-2.
• حل من أجل y: 5y – 3 = 3y + 5
  
  المعادلة مبسطة.
  
  احصل على المتغير في جانب واحد:
  
  5 ص – 3 – 3 ص = 3 ص + 5 – 3 س
  
  5 ص – 3 ص – 3 = 3 ص – 3 ص + 5
  
  2 ص – 3 = 5
• حل باستخدام العمليات العكسية:
  
  2 ص – 3 + 3 = 5 + 3
  
  2 ص = 8 = ص = 4 [2]

أمثلة على معادلات تتضمن متغيرات في طرفيها

حل المعادلة : 8 + 4س = 5س ، وتحقق من صحة الحل

الإجابة :

أولا نقوم بكتابة المعادلة كاملة

8 + 4س = 5س ، و من ثم نتعرف على أصغر قيمة للمتغير و التي في هذه المعادلة هي 4س ، مما يجعلنا نقوم بتغيير إشارة المتغير س و نطرح أو نجمع على كلا الطرفين كالآتي

8 + 4س – 4س = 5س – 4س

تصبح الإجابة  8 = س ، و بذلك فقد قمنا بمعرفة قيمة المتغير س و هو 8 .

أما للتحقق من صحة الحل و المعادلة ، فإنه يجب تعويض الرمز س بقيمته التي نتجت من حل المعادلة و هي 8 في المعادلة الأصلية ، لكي نتأكد من تساوي الطرفين كالآتي

8 + 4س = 5س

8 + 4 (8) = 5 (8)

40 = 40  ، إذن قيمة س تساوي 8 و النتيجة صحيحة .

مثال أخر

حل المعادلة : 6ن – 1 = 4ن – 5

الإجابة :

نقوم بكتابة المعادلة مرة أخرى و نختار المتغير الأقل قيمة و نطرحه أو نجمعه على كلا الطرفين حسب الإشارة

6ن – 1 = 4ن – 5

6ن – 4ن –  1 = 4ن – 4ن – 5

2ن – 1 = -5

2ن – 1 + 1 = -5 + 1

2ن = -4

ن = -2

و لكي نتحقق من حل المعادلة نقوم بالتعويض في المعادلة الأصلية بقيمة المتغير الناتجة .