شرح درس المتتابعات
التعريف العام للمتتابعات :
يُقصد بكلمة متتابعة هى مجموعة من الأعداد التى تتبع نمطاً معيناً من الترتيب ، وتُطلق كلمة (حد) على كل عدد فى المجموعة ، وهناك متتابعات منتهية أى مُحددة بعدد معين من الأرقام ومتتابعات غير منتهية أى أنها مفتوحة وغير مُحددة ، وتُستخدم المتتابعات فى جدولة الديون المتبقية والأقساط وغيرها من العمليات البنكية ، وتنقسم المتتابعات إلى نوعين متتابعات حسابية ومتتابعات هندسية.
أولا : المتتابعة الحسابية
يمكن تعريف المتتابعة الحسابية بأنها نمط عددى يزيد أو ينقص بمقدار ثابت مثل :(3، 5 ، 7 ، 9 ، 11، …..) فتسمى هذه متتابعة حسابية وذلك لأن الفرق بين أى حدين متتاليين فيها ثابت ، ويسمى هذا الفرق أساس المتتابعة ، فنقول هنا أساس المتتابعه يساوى (+2). أحيانا تتناقص المتتابعة الحسابية ولا تزيد مثل : (8 ، 6 ، 4 ، صفر ، -2 ، -4 ، ….) ونلاحظ أن أساس هذه المتابعة يكون بالسالب لأنه يتناقص بقيمة (-2). وكما فهمنا أن المتتابعة تزيد أو تنقص بمقدار ثابت ، فمثلا إذا نظرنا لهذه الأرقام (21 ، 26 ، 31 ، 36 ، 40 ،….) هل يمكن أن نعتبرها متتابعة حسابية ؟ الإجابة هى لا ، وذلك لأنها لا تزيد بمقدار ثابت.
نستطيع كتابة المتتابعة الحسابية باستعمال (الحد النونى) وهو الذى يربط بين رقم الحد وقيمته مثل (6 – ن) ، وإذا اردنا إثبات ما إذا كانت هذه متتابعة حسابية أم لا ، فإننا نقوم بالتعويض عن (ن) بأعداد تمثل رقم الحد و نقوم بحساب النواتج ، ثم معرفة ما إذا كانت أرقام النواتج تزيد أو تنقص بمقدار ثابت أم لا. فمثلا فى هذه المتتابعة :
– عندما ن=1 (6-1=5)
– عندما ن=2 (6-2=4)
– عندما ن=3 (6-3=3)
– عندما ن=4 (6-4=2)
ومن هنا نلاحظ أن هذا النمط العددى (5 ، 4 ، 3 ، 2 …) ينقص بمقدار ثابت وهو (-1) ، أى أنه يشكّل متتابعة حسابية.
يمكن مما سبق إستنتاج الصورة العامة للمتتابعة الحسابية وهى (أ+أ+د ، أ+2د،…..،ل) حيث أ هو العدد الأول ، د هو أساس المتتابعة ، أما الحد العام للمتتابعة الحسابية هو (ح ن = أ +(ن-1) د ) .
تمرين :
إذا كانت (ح ن) = (1 ، 4 ، 7، …..) متتابعة حسابية ، أوجد ح 10 وكذلك رتبة الحد الذى قيمته 22
الإجابة :
بما أن ح ن = أ + (ن-1) د
اذاً ح ن = 1 + (10-1) × 3
= 1 + 9 × 3 = 1 + 27 = 28 #اولاٌ
بما أن ح ن = 22
22 = 1+ (ن-1) × 30
22 = 1 + 3ن – 3 = 3ن-2
إذاً 3ن=24 إذاً ن = 8
أى أن رتبة الحد الذي قيمته 22 هو الثامن
الوسط الحسابي :
إذا أفترضنا أن أ ، ب ، ج ثلاثة حدود لمتتابعة حسابية ، فإن ب يسمى الوسط الحسابي بين أ ، ج ويكون 2ب = أ +ج وبذلك فإن ب = (أ + جـ) ÷ 2 ، وإذا كانت (أ ، س ، ص ، ….، ع ، ل) متتابعة حسابية ، فكلاً من س ، ص ،….، ع يطلق عليهم أوساطاً حسابية بين أ ، ل ويكون عدد الأوساط = عدد حدود المتتابعة – 2.
تمرين :
ادخل 5 أوساط حسابية بين العددين -13 ، 245
الإجابة :
بإدخال 5 أوساط حسابية بين -13 ، 245 نحصل على متتابعة حسابية مكونة من 7 حدود حيث أ = -13 ، حـ7 = 245
اذاً أ + 6د = 245
-13+ 6د = 245
6د = 258 اذا د = 43
إذاً الأوساط الحسابية هى : حـ2 ، حـ3 ، حـ4 ، حـ5 ، حـ6
-13 + 43 ، -13 + 2 × 43 ، -13 + 3 × 43
-13 + 4 × 43 ، -13 + 5 × 43
أى 30 ، 73 ، 116 ، 159 ، 202
مجموع ن حداً الأولى من متتابعة حسابية :
القانون الاول :
جـ ن = ن/2 (أ + ل ( ويتم إستعمال هذا القانون فى حالة إذا عُلم (ن ، أ ، ل)
القانون الثانى :
جـ ن = ن/2 (2 أ + ( ن – 1 ) د) ويتم إستعمال هذا القانون فى حالة إذا عُلم (ن ، أ ، د) .
تمرين :
أوجد مجموع المتتابعة الحسابية (3 ، 5 ، 7 ، …..،41)
الإجابة :
أ = 3 ، ل = 41
بما أن رتبة الحد الأخير هى عدد حدود المتتابعة
إذاً حـ ن = أ + (ن – 1) د
41= 3 + (ن – 1) × د
41 = 3 + 2ن – 2
2ن = 40 ، إذاً ن = 20
إذاً حـ 20 = 20/2 (3 + 41) = 10 × 44 = 440
تمرين :
إذا كانت (1، 9 ، 17 ، ….) متتابعة حسابية أوجد حـ 10 الاولى منها
الإجابة :
أ = 1 ، ن = 10 ، د = 8
إذا حـ10= 10/2 ( 2 × 1 + (10- 1) × 8 )
= 5 ( 2 + 9 × 8 ) = 5 (74) = 370
تمرين :
متتابعة حسابية حدها الأول = 12 ، الحد الأخير = – 26 ، مجموع حدودها = – 140 ، أوجد المتتابعة ؟
الإجابة :
مجموع المتتابعة = ن/2 × ( الحد الأول + الحد الأخير ) = ن/2 × – 14 = – 140
ن = 20 حدا
الحد الأول = أ = 12
الحد الأخير = أ + (ن – 1) د = 12 + 19 د = – 26
ومنها : الأساس = د = – 2
المتتابعة : 12 ، 10 ، 8 ، ….. ، – 26
ثانيا : المتتابعة الهندسية
تُسمى المتتابعة متتابعة هندسية عندما يكون كل حد فيها يساوي ناتج ضرب الحد السابق بعدد حقيقي ثابت ، ويُعرف هذا العدد بإسم أساس المتتابعة الهندسية أو النسبة المشتركة ، وإذا كان أساس المتتابعة الهندسية موجباً ، تكون المتتابعة متحدة الإشارة ، أما فى حالة كونه سالباً ، تتغير حدود المتتابعة بتغير إشارتها من موجب إلى سالب على التوالي ، أو من سالب إلى موجب على التوالي. مثل (16،8،4،2،1،…..) نلاحظ في المتتابعة السابقة أن كل حد قسمة سابقه يساوي مقدار ثابت.
بذلك نقول إذا كان (حـ ن +1) ÷ حـ ن = عدد ثابت فإن المتتابعة تكون هندسية أساسها العدد الثابت ، مع ملاحظة أن حـ ن لا تساوى صفر .
نقول أن (حـ ن) متتابعة هندسية إذا وجد عدد ثابت (ر) حيث ر = حـ ن + 1 ÷ ح ن ، وذلك لجميع قيم ن وتسمى (ر) أساس المتتابعة . ويجب ملاحظة أن الحد النونى للمتتابعة الهندسية هو : حـ ن = أ ر
ن – 1
حيث أ هو الحد الأول ، ر هو أساس المتتابعة ، وعندما تكون الأعداد أ ، ب ، جـ فى تتابع هندسى فإن ب هو الوسط الهندسى حيث أ / ب = ب/جـ ، وبذلك ب يساوى زائد أو ناقص الجذر التربيعى لـ أ × جـ .
تمرين :
أوجد الوسط الهندسي للعددين 16 ، 9 ؟ .
الإجابة :
الوسط الهندسي للعددين = زائد أو ناقص جذر 144 = زائد أو ناقص 12
تمرين :
الوسط الحسابى لعددين موجبين 50 ، والوسط الهندسي لهما 40 أوجد العددين
الإجابة :
بفرض أن العددين هما أ ، ب
(أ + ب) ÷ 2 = 50
أ + ب = 100 (1)
أ = 100 – ب
جذر أ ب = 40
أب = 1600 (2)
بالتعويض فى (1) و (2)
( 100- ب ) ب = 1600
100 ب – ب
2
= 1600
ب
2
– 100 ب + 1600 = 0
(ب- 80) ( ب – 20 ) = 0
ب = 80 ، إذاً أ = 20
ب = 20 ، إذاً أ = 80
إذاً العددين هما 20 ، 80