مساحة سطح الهرم

نظرة عامة حول الهرم

يمكن تعريف الهرم (بالإنجليزية: Pyramid) بأنه شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من قاعدة، وأوجه مثلثة الشكل تجتمع في نقطة تُسمّى رأس الهرم، ويعتمد عدد الأوجه مثلثة الشكل على عدد أضلاع القاعدة؛ فمثلاً الهرم الذي يحتوي على قاعدة مربعة الشكل يحتوي على أربعة أوجه مثلثة، أما الهرم الذي يحتوي على قاعدة سداسية الشكل فيحتوي على ستة أوجه مثلثة، وتجدر الإشارة أن المسافة العمودية بين رأس الهرم، ومنتصف قاعدته تسمى الارتفاع (بالإنجليزية: Height)،^[١] أما المسافة العمودية المرسومة من رأس الهرم القائم إلى أي ضلع من أضلاع القاعدة فتُعرف بالارتفاع الجانبي (بالإنجليزية: Slant Height)، ويكون الارتفاع الجانبي متساوياً لجميع الأوجه الجانبية، وينصّف أضلاع القاعدة،^[٢] ومن الجدير بالذكر أن هناك نوعان رئيسيان من الهرم، وهما: الهرم القائم الذي يقع فيه رأس الهرم مقابل منتصف القاعدة تماماً، وهو الذي يمكن حساب مساحة سطحه، أما الهرم المائل فهو الذي لا يقابل رأس الهرم فيه منتصف القاعدة تماماً، وفي هذه الحالة لا توجد طريقة مباشرة لإيجاد مساحة سطحه.^[٣]

لمزيد من المعلومات حول الهرم يمكنك قراءة المقال الآتي: تعريف الهرم.

قانون مساحة الهرم

يمكن تعريف المساحة الجانبية للهرم (بالإنجليزية: Lateral Surface Area) بأنها مجموع المساحات للأوجه المثلثة الجانبية، أو كامل الأوجه باستثناء مساحة القاعدة، أما المساحة الكلية (بالإنجليزية: Total Surface Area) فتتمثّل بمجموع المساحة الجانبية، ومساحة القاعدة، ويمكن إيجاد المساحة الجانبية، والكلية باستخدام الصيغ الآتية:^[٤]

• المساحة الجانبية = 1/2 × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي.
• المساحة الكلية = المساحة الجانبية مساحة القاعدة.

يمكن حساب مساحة الهرم الكلية حسب شكل قاعدته وفق القوانين الآتية:

• مساحة الهرم الثلاثي: إذا كان الهرم ثلاثياً؛ أي قاعدته مثلثة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:^[٥]
  • مساحة الهرم الثلاثي = 1/2×(أ×ب) 3/2×(ب×ع)، حيث:
    • أ: هو ارتفاع القاعدة المثلثة
    • ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة المثلثة.
    • ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.

• مساحة الهرم الرباعي: إذا كان الهرم رباعياً؛ أي قاعدته مربعة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:^[٦]
  • مساحة الهرم الرباعي = ب² 2×(ب×ع)، حيث:
    • ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة.
    • ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.

• مساحة الهرم الخماسي: إذا كان الهرم خماسياً؛ أي قاعدته خماسية الشكل، فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:^[٥]
  • مساحة الهرم الخماسي = 5/2×(أ×ب) 5/2×(ب×ع)، حيث:
    • أ: هو المسافة العمودية من مركز القاعدة خماسية الشكل إلى أحد أضلاع القاعدة.
    • ب: أحد أضلاع القاعدة الخماسية.
    • ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.

• مساحة الهرم السداسي: إذا كان الهرم سداسي الشكل؛ أي قاعدته سداسية، فإنه يمكن إيجاد مساحته باستخدام القانون الآتي:^[٥]
  • مساحة الهرم السداسي= 3×(أ×ب) 3×(ب×ع)، حيث:
    • أ: هو المسافة العمودية من مركز القاعدة السداسية إلى أحد أضلاع القاعدة.
    • ب: هو طول أحد أضلاع القاعدة السداسية.
    • ع: هو الارتفاع الجانبي للهرم.

لمزيد من المعلومات حول جهات الهرم يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو عدد جهات الهرم.

أمثلة متنوعة حول حساب مساحة الهرم

• المثال الأول: ما هي مساحة سطح الهرم الرباعي الذي طول أحد أضلاع قاعدته 6سم، وارتفاعه الجانبي 12 سم؟^[٦]
  • الحل: يمكن تطبيق قانون مساحة الهرم بشكل عام، أو استخدام القانون الخاص بالهرم الرباعي، وهو: مساحة الهرم = ب² 2×ب×ع، وبالتالي فإن مساحة هذا الهرم = (6)² 2×6×12= 180 سم²

• المثال الثاني: ما هي مساحة الهرم الرباعي الذي ارتفاعه العمودي (د) يساوي 16 سم، وطول أحد أضلاع قاعدته (ب) يساوي 24 سم؟^[١]
  • الحل:
  • يمكن إيجاد مساحة الهرم من خلال القانون الخاص به، وهو: مساحة الهرم = ب² 2×ب×ع.
  • بما أن الارتفاع الجانبي غير موجود، والارتفاع العمودي معروف فيمكن إيجاد الارتفاع الجانبي من خلال نظرية فيثاغورس، وذلك لأن الارتفاع العمودي يشكل مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو الارتفاع الجانبي (ع)، والارتفاع العمودي (د)، ونصف طول ضلع القاعدة (ب) هما ضلعا القائمة، وبالتالي:
    • ع² = د² (1/2×ب)²، ومنه: ع² = 16² 12²، ومنه: ع² = 400، وبالتالي فإن الارتفاع الجانبي = ويساوي 20 سم.
  • بعد إيجاد الارتفاع الجانبي يمكن إيجاد مساحة الهرم كما يلي:
    • مساحة الهرم = 24² 2×24×20 = 1536 سم².

• المثال الثالث: ما هي مساحة الهرم الثلاثي الذي ارتفاعه الجانبي (ع) 3سم، وطول أحد أضلاع قاعدته (ب) 3سم، وارتفاع قاعدة الهرم (أ) 2.5 سم؟^[٧]
  • الحل: مساحة الهرم الثلاثي = 1/2×(أ×ب) 3/2×(ب×ع) = 1/2×(3×2.5) 3/2×(3×3)= 17.25 سم²

• المثال الرابع: ما هي المساحة الجانبية لهرم منتظم قاعدته ثلاثية الشكل إذا كانت جميع أطوال أضلاع قاعدته متساوية، وتساوي 8 سم، وارتفاعه الجانبي يساوي 5 سم؟^[٨]
  • الحل:
  • المساحة الجانبية للهرم = 1/2 × محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي، وبما أن القاعدة مثلثية الشكل فإن محيطها = محيط المثلث، وبالتالي: محيط القاعدة = مجموع أطوال أضلاعها = 3×8 = 24 سم.
  • إيجاد المساحة الجانبية كما يلي:
    • المساحة الجانبية للهرم = 1/2×24×5= 60 سم².

• المثال الخامس: قرّر أحمد، وسارة بناء خيمة على شكل هرم رباعي طول أحد أضلاع قاعدته 6 أقدام، وارتفاعه الجانبي 8 أقدام فكم يحتاج هذان الاثنان من القماش؟^[٩]
  • الحل: كمية القماش = المساحة الكلية للهرم، وعليه: المساحة الكلية للهرم = ب² 2×ب×ع = 6² 2×6×8 = 132 قدم²

• المثال السادس: ما هي مساحة الهرم الرباعي الذي ارتفاعه العمودي (د) يساوي 4 م، وطول أحد أضلاع قاعدته (ب) يساوي 6 م؟^[١]
  • الحل: يمكن إيجاد مساحة الهرم من خلال القانون الخاص به، وهو مساحة الهرم = ب² 2×ب×ع.
  • بما أن الارتفاع الجانبي غير موجود، والارتفاع العمودي معروف يمكن إيجاد الارتفاع الجانبي من خلال نظرية فيثاغورس، وذلك لأن الارتفاع العمودي يشكل مثلثاً قائم الزاوية الوتر فيه هو الارتفاع الجانبي (ع)، والارتفاع العمودي (د)، ونصف طول ضلع القاعدة (ب) هما ضلعي القائمة، وبالتالي:
    • ع² = د² (1/2×ب)²= 4² 3²= 25، وبالتالي فإن الارتفاع الجانبي = 25√ = 5 م.
  • بعد إيجاد الارتفاع الجانبي يمكن إيجاد مساحة الهرم كما يلي:
    • مساحة الهرم = 6² 2×5×6 = 96 م².

• المثال السابع: إذا كانت مساحة سطح الهرم الرباعي 40م²، وطول قاعدته (ب) 4م، فما هو الارتفاع الجانبي للهرم (ع)؟^[١٠]
  • الحل: مساحة الهرم الرباعي = ب² 2×ب×ع، ومنه: 40 = 4² (2×4×ع)، ع = 3م.

• المثال الثامن: إذا كانت المساحة الجانبية للهرم الرباعي 800 سم²، والارتفاع الجانبي 16سم، فما هو طول أحد أضلاع قاعدة الهرم مربعة الشكل؟^[١٠]
  • الحل: المساحة الجانبية = 1/2×محيط القاعدة×الارتفاع الجانبي، وبالتالي:
    • 800 = 1/2×محيط القاعدة×16، ومنه: محيط القاعدة = 100سم.
  • بما أن القاعدة مربعة الشكل فإن محيطها = 4×طول الضلع، وبالتالي:
    • 100 = 4 × طول الضلع، وبالتالي فإن طول الضلع = 25 سم.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} “Total Surface Area of a Pyramid”, www.mathsteacher.com.au, Retrieved 24-5-2020. Edited.
2. ↑ “Pyramid”, www.math-only-math.com, Retrieved 24-5-2020. Edited.
3. ↑ “Surface area of a pyramid”, www.mathopenref.com, Retrieved 24-5-2020. Edited.
4. ↑ “Surface Area of a Pyramid”, www.varsitytutors.com, Retrieved 24-5-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت} “Surface Area of a Pyramid Formula”, byjus.com, Retrieved 24-5-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب} “Surface Area of A Pyramid”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 24-5-2020. Edited.
7. ↑ “surface area of the triangular pyramid”, www.ixl.com, Retrieved 24-5-2020. Edited.
8. ↑ “Surface Area of a Pyramid”, www.varsitytutors.com, Retrieved 24-5-2020. Edited.
9. ↑ ” Surface Area of Pyramids”, www.ck12.org, Retrieved 24-5-2020. Edited.
10. ^ ^{أ ب} “Pyramids”, www.ck12.org, Retrieved 24-5-2020. Edited.