خواص القوى في الرياضيات

نظرة عامة حول القوى في الرياضيات

يمكن تعريف عملية رفع العدد للأسس أو القوى (بالإنجليزية: Exponents) بأنها العملية التي يتم فيها تكرار ضرب العدد المرفوع لقوة ما بنفسه، والذي يُعرف باسم الأساس لعدد معيّن من المرات يساوي قيمة القوة؛ فمثلاً أ^ن = أ× أ × أ× أ×…….. حتى تكرار العدد أ وهو الأساس بمقدار ن من المرات وهي الأس أو القوة؛ فمثلاً: 5 ³ = 5×5×5، و 4 ³ = 4×4×4، وتقرأ العدد أ مرفوعاً للقوة أو الأس ن.^[١]

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات الأسية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة الأسية.

خواص القوى في الرياضيات

من الخصائص المُتعلقة بالقوى (الأُسُس) في الرياضيات ما يأتي:^[٢][٣][٢]

• خاصية ضرب الأسس: تنُص هذه الخاصية أنّ الأسُس تُجمع عند إجراء عملية الضرب لأسين متساويين في القاعدة أو الأساس؛ أي أنّ:
  • أ^ن×أ^م = أ ^{م ن}؛ فمثلاً: 5⁶×5⁵ = 5¹¹.
• خاصية قِسمة الأسس: تنُص هذه القاعدة أنّ الأُسُس تطرح من بعضها عند قسمة أسين متساويين في القاعدة أو الأساس؛ أي أن:
  • أ^ن/أ^م = أ ^ن-م؛ فمثلاً: 3⁸/3²= 3⁶.
• خاصية رفع القوة إلى قوة أخرى: تنُص هذه القاعدة على أنّ: حين يكون العدد مرفوعاً إلى قوة معينة داخل قوس، ويتم رفع القوس بأكمله إلى قوة أخرى؛ فإنّ الناتج يكون برفع العدد بقوة مساوية لحاصل ضرب القوتين معاً؛ أي أن:
  • (أ^ن)^م = أ^ن×م؛ فمثلاً: (8²)² = 8 ^2×2 = 8 ⁴.
• رفع حاصل عملية الضرب لقوة ما: تنص هذه الخاصية على أن ناتج رفع حاصل عملية الضرب إلى قوة ما يساوي حاصل ضرب كل عدد من الأعداد المشمولة بعملية الضرب عندما يكون كل منها مرفوعاً لهذه القوة؛ حيث:
  • (س×ص)^ن = س ^ن×ص ^ن؛ فمثلاً: (3×5)⁶ = 3⁶× 5⁶ .
• رفع ناتج عملية القسمة لقوة ما: تنُص هذه الخاصية بأنّه يمكن توزيع القوة المرفوعة لناتج عملية قسمة على الأعداد المشمولة فيها؛ حيث:
  • (س/ص)^ن = س ^ن/ص ^ن؛ فمثلاً: (3/5)⁶ = 3⁶/5⁶ .
• خاصية الأس صفر: تنص هذه الخاصية على أن ناتج عملية رفع أي عدد للقوة صفر يساوي دائماً العدد 1؛ حيث:
  • س⁰ = 1 عندما تكون س≠0؛ فمثلاً: 5⁰ =1، وكذلك 7⁰ = 1.
• خاصية الأسس السالبة: تنص هذه الخاصية على أن: الأسس السالبة تساوي دائماً مقلوب الأسس الموجبة؛ حيث:
  • س ^-أ = 1 / س ^أ ، و س ^أ = 1 / س ^-أ، عندما تكون س≠0؛ فمثلاً: 1/5³ = 5 ^3-.
• خاصية الجذر التربيعي: تنص هذه الخاصية على ما يلي:
  • أ^ن√^م = أ ^ن/م.
• خاصية الصفر: تنص هذه الخاصية على أن رفع الصفر لأية قوة يساوي دائماً القيمة صفر؛ حيث:
  • 0^ن =0؛ لأي عدد ن>0.
• خاصية العدد واحد: تنص هذه الخاصية على ما يلي:
  • 1^ن = 1، مهما كانت قيمة ن، كما أن: أ ¹ = أ، مهما كانت قيمة أ.
• خاصية السالب واحد: تنص هذه الخاصية على ما يلي:
  • 1-^ن = 1، إذا كانت قيمة ن زوجية، كما أن: 1- ^ن = -1، إذا كانت قيمة ن فردية.

أمثلة متنوعة حول خواص القوى

• المثال الأول: بسّط التعبير الآتي: (7⁵)¹⁰ × 7 ²⁰⁰/(7 ^-2) ³⁰.^[٣]
  • الحل: نبسط كل مقدار من المقادير على حدة كما يلي:
  • (7 ⁵)¹⁰ = 7 ⁵⁰
  • (7 ^-2)³⁰ = 7 ^-60
  • تعويض القيم السابقة في المسألة الأصلية لينتج أن: 7 ⁵⁰× 7²⁰⁰ / 7 ^-60 =7⁵⁰×7²⁰⁰×7⁶⁰= 7 ³¹⁰

• المثال الثاني: اكتب الخاصية التي تعبّر عما يلي:^[١]
  • 3 ²× 4 ²=(3×4) ².
  • 2 ⁵ / 2 ³ = 2 ^5-3 = 2² = 4.
  • 2⁶√² =2 ^6/2 = 2³
  • 2³ = 1/2^-3
• الحل:
  • 3 ²× 4 ²=(3×4) ²: خاصية رفع حاصل عملية الضرب لقوة ما.
  • 2 ⁵ / 2 ³ = 2 ^5-3 = 2² = 4: خاصية قِسمة الأسس.
  • 2⁶√² =2 ^6/2 = 2³: خاصية الجذر التربيعي.
  • 2³ = 1/2^-3: خاصية الأسس السالبة.

• المثال الثالث: بسّط التعبير الآتي: س⁰×(س²)³÷(س²×س^½).^[٤]
  • الحل: نبسط كل مقدار من المقادير على حدة كما يلي:
  • س⁰ =1.
  • (س²)³ = س⁶.
  • (س²×س^½) = س ^5/2.
  • تعويض القيم السابقة في المسألة الأصلية لينتج أن: 1×س⁶÷س^5/2 = س ^6-5/2 = س ^3.5.

• المثال الرابع: جد قيمة ن عندما تكون 9 ^2ن-1 = 27 ^{ن 2}.^[٤]
  • الحل:
  • إعادة كتابة المسألة على شكل: (3²)^2ن-1 = (3³)^{ن 2} = 3 ^4ن-2 = 3 ^{3ن 6}، وعندما تتساوي الأساسات فإن الأسس تتساوى، وعليه:
  • 4ن-2 = 3ن 6، وبحل المعادلة الخطية ينتج أن: ن = 8.

• المثال الخامس: بسّط التعبير الآتي: (س³÷س^½)×(س^3/2÷س⁰)×س⁷.^[٤]
  • الحل: نبسط كل مقدار من المقادير على حدة كما يلي:
  • س⁰ =1.
  • (س³÷س^½) = س ^2.5.
  • إعادة كتابة المسألة على شكل: س ^2.5×س^3/2×س⁷ = س ¹¹.

• المثال السادس: جد قيمة كل مما يلي:^[٥][٦]
  • (-3)⁴.
  • (3²)³.
  • 2¹⁰/2⁸.
  • (4-100×25) ^100÷25.
  • 6×5⁹÷2×5⁷
• الحل:
  • (-3)⁴ = 81
  • (3²)³= 3 ⁶ = 729.
  • 2¹⁰/2⁸ = 2^10-8 = 2 ² = 4.
  • (4-100×25) ^100÷25 = 100-100 ⁴ = 0 ⁴ =0
  • 6×5⁹÷2×5⁷ = 5^9-7×6/2 = 5 ²× 3 = 75.

• المثال السابع: إذا كانت قيمة 3^س = 27، جد قيمة 2 ^2س.^[٧]
• الحل:
  • حساب قيمة س عن طريق معرفة أن: 3×3×3 = 27، وعليه: 3 ³ = 27، وس = 3.
  • حساب قيمة 2 ^2س = 2 ^2×3 = 2 ⁶ = 64.

• المثال الثامن: إذا كانت أ² = 35، ب ² = 52، جد قيمة أ⁴ ب⁶.^[٧]
• الحل:
  • بما أن: أ² = 35، فإن أ⁴ = (أ²)²=35×35 = 1225
  • بما أن: ب ² = 52، ، فإن ب⁶ = (ب³)²=52×52×52 = 140,608‬.
  • قيمة أ⁴ ب⁶ = 1225 140608 = 141,833.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} “Exponent rules”, www.rapidtables.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “Exponent properties review”, www.khanacademy.org, Retrieved 10-10-2018. Edited.
3. ^ ^{أ ب} “Properties of exponents”, www.mathplanet.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت} “Laws of Exponents “, www.mathopolis.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
5. ↑ “Use Multiplication Properties of Exponents”, opentextbc.ca, Retrieved 26-5-2020. Edited.
6. ↑ ” Properties of Exponents”, www.varsitytutors.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} “Exponents”, www.varsitytutors.com, Retrieved 26-5-2020. Edited.