خواص القيمة المطلقة

بواسطةفوري

تعريف القيمة المطلقة

يمكن تعريف القيمة المطلقة (بالإنجليزية: Absolute Value) بأنّها المسافة التي يبعدها العدد الحقيقي بغض النظر عن إشارته عن الصفر على خط الأعداد، فالعدد 6 يبعد عن الصفر بمقدار 6، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-6)،[١] وهي تُعنى بقيمة العدد دون النظر إلى إشارته، وتُستخدم عادة عند التكلم عن المسافات، لعدم وجود مسافات سالبة في الواقع والحياة،[٢] وتُكتب القيمة المطلقة للعدد س مثلاً باستخدام الرمز الآتي: |س|؛ فمثلاً يمكن التعبير عن القيمة المطلقة للعدد (5) على شكل |5| = 5، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-5): |5-|=5،[١] وهي تعني عملياً إزالة الإشارة السالبة الموجودة أمام العدد، والتفكير في جميع الأعداد على أنها موجبة دائماً أو مساوية للصفر فقط.[٣]

خصائص القيمة المطلقة

هناك العديد من خصائص القيمة المطلقة، ومنها ما يلي:[٤]

  • |أ|≥0؛ أي أن القيمة المطلقة للعدد أ لا يمكن لها أن تكون أقل من الصفر؛ حيث أ أي عدد حقيقي.
  • |أ|= (أ2)√؛ حيث يساوي جذر العدد عدداً موجباً أو مساوياً للصفر في الأعداد الحقيقية.
  • |أ×ب|=|أ|×|ب|، وهذا يعني أن حاصل ضرب القيمة المطلقة للعدد أ بالقيمة المطلقة للعدد ب يساوي القيمة المُطلقة لحاصل ضرب العددين أ و ب.
  • |أ|=|-أ|, حيث يمتلك العدد وسالبه القيمة المطلقة ذاتها.[٥]
  • |أ-ب|=|ب-أ|؛ حيث (أ-ب) ≠ (ب-أ)، بينما القيمة المطلقة لهما متساوية.[٥]
  • |أ|=|ب|، فقط إذا كانت أ=ب، أو أ=-ب.[١]
  • |أ|ن=|أ ن|، حيث ن= عدد صحيح موجب.[١]
  • |أ|/|ب|=|أ/ب|، حيث ب لا تساوي صفر.[١]
  • |أ±ب|≤|أ| |ب|, وتعني أن القيمة المطلقة لمجموع قيمة العددين أ, ب أقل دائماً أو مساوية لناتج جمع أو طرح القيمة المطلقة للعدد أ مع القيمة المطلقة للعدد ب.[٦]
ملاحظة: يمثل المتغيران أ، ب في الخصائص السابقة أي عددين حقيقيين.

لمزيد من المعلومات حول الأعداد الحقيقية يمكنك قراءة المقالات الآتية: ما هي الأعداد الحقيقية، خصائص الأعداد الحقيقية.

اقتران القيمة المطلقة

يعبّر عن اقتران القيمة المطلقة بالصيغة الآتية: ق(س)=|س|، وهو يحوّل قيمة س إلى القيمة الموجبة دائماً؛ فمثلاً ق(4-)=|4-|=4، وياخذ هذا الاقتران عند تمثيله بياناً شكل حرف (V)، ويمتاز بالمميزات الآتية:[٧]

  • مجاله هو جميع الأعداد الحقيقية.
  • مداه هو جميع الأعداد الحقيقية التي تساوي أو تزيد عن الصفر.
  • رسمه البياني يقع بالكامل فوق محور السينات.
  • رسمه البياني متماثل بالنسبة لمحور الصادات.

أمثلة على القيمة المطلقة

  • المثال الأول: ما هو ناتج كل مما يلي:[١][٣]
    • |3.5|-|2.5-|.
    • |5×6|.
    • |2×(2/3 – 0.5)|.
    • |12-|-.
    • |²(2-)|-.[٨]
    • |³(-3) 5|.
  • الحل:
    • |3.5| – |2.5-| = 3.5 – 2.5=1.
    • |5×6|=|30|=30.
    • |2×(2/3 – 0.5)| = |2×(1/6)| = |1/3| = 1/3.
    • |12-|-= 12-.
    • |²(2-)|- = |4|- = 4-.
    • |³(-3) 5| = |27 5-| =|22-| = 22.

  • المثال الثاني: احسب قيمة س في المسألة: |س 2|=5؟[٤]
    • الحل:
    • س 2=5±، ومنه:
      • س 2=5، ومنها س=3.
      • س 2=5- ، ومنها س=7-.

  • المثال الثالث: احسب مدى س في المسألة: |س| < 3.[٣]
    • الحل:
    • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: س< 3±، وعليه:
    • س< 3، أو س>-3؛ أي أن -3<س<3.

  • المثال الرابع: احسب مدى س في المسألة: |3س-6| ≤ 12.[٣]
    • الحل:
    • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: (3س-6)≤ 12±، وبالتالي: 3س-6 ≤ 12، أو 3س-6 ≤ 12-، ومنه:
      • 3س-6≤ 12، تصبح بعد جعل س على طرف لوحدها: س≤ 6.
      • 3س-6 ≤ 12-، تصبح بعد جعل س على طرف لوحدها: 2- ≤ س .
      • وبالتالي: 2- ≤ س ≤ 6

  • المثال الخامس: احسب قيمة س في المسألة: |س-2| |س-3| = 1.[١]
    • الحل:
    • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: ±(س-2)±(س-3) = 1، وبالتالي هناك عدة حالات على الشكل الآتي:
      • س-2 س-3= 1، وبالتالي: 2س-5 =1، ومنه: س= 3.
      • -س 2 – س 3 = 1، وبالتالي: -2س 5=1، ومنه: س = 2.
      • س-2- س 3= 1، وهذه المسألة لا حلول لها لأن س تلغي بعضها.
      • -س 2 س-3= 1، وهذه المسألة لا حلول لها لأن س تلغي بعضها.
    • حلول هذه المسألة هي: س= 2،3.

  • المثال السادس: احسب قيمة س في المسألة: |3س-2| = |5س 4|.[٦]
    • الحل:
    • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: (3س-2) = ±(5س 4)، وبالتالي هناك عدة حالات على الشكل الآتي:
      • 3س-2 = 5س 4، ومنه: س= 3-.
      • 3س-2 = -5س-4، ومنه: س= 1/4-.
    • حلول هذه المسألة هي: س=1/4-، 3-.

  • المثال السابع: إذا كانت قيمة س=2، جد قيمة ما يلي: |-4س 3| |3س-14|.[٩]
    • الحل: بتعويض قيمة س ينتج أن: |(-4×2) 3|×|(3×2)-14| = |5-|×|8-| = 5×8 = 40.

  • المثال الثامن: إذا كان: |2أ-3| = 5، |3-4ب| = 11، جد قيمة |ب-أ|، علماً أن أ، ب أعداد سالبة.[١٠]
    • الحل:
    • |2أ-3| = 5، ومنه: 2أ-3 = 5±، وبالتالي: 2أ-3 = 5، وبحلها ينتج أن أ=4، أو 2أ-3 = 5-، وبحلها ينتج أن: أ=1-، وهي القيمة المطلوبة.
    • |3-4ب| = 11، ومنه: 3-4ب = 11±، وبالتالي: 3-4ب = 11، وبحلها ينتج أن: ب= 2-، وهي القيمة المطلوبة، أو 3-4ب = 11-، وبحلها ينتج أن: ب=2.
    • قيمة |ب-أ| هي: |-2-(-1)| = |1-| =1.

المراجع

  1. ^ أ ب ت ث ج ح خ “Absolute Value”, www.brilliant.org, Retrieved 23-10-2017. Edited.
  2. ↑ Aiesha Brooks, “What is an Absolute Value?”، www.study.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث “Absolute Value”, www.mathsisfun.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
  4. ^ أ ب “Absolute Value in Algebra”, www.mathsisfun.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
  5. ^ أ ب Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, College Algebra, Page 8. Edited.
  6. ^ أ ب “ABSOLUTE VALUE”, www.wiley.com, Retrieved 24-10-2017. Edited.
  7. ↑ Laura Pennington, “Absolute Value Function: Definition & Examples”، www.study.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
  8. ↑ “Absolute Value”, www.purplemath.com, Retrieved 18-5-2020. Edited.
  9. ↑ “How to solve absolute value equations”, www.varsitytutors.com, Retrieved 18-5-2020. Edited.
  10. ↑ ” How to find absolute value”, www.varsitytutors.com, Retrieved 18-5-2020. Edited.