قانون مساحة المثلث قائم الزاوية

نظرة عامة حول المثلث القائم

يمكن تعريف المثلث بأنه مضلّع منتظم مكوّن من ثلاثة أضلاع، وثلاث زوايا، وثلاثة رؤوس، ويكون فيه مجموع ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث، كما أن مجموع زواياه 180 درجة، أما المثلث القائم (بالإنجليزية: Right Triangle) فهو الذي تكون إحدى زواياه قائمة، ومجموع الزاويتين المتبقيتين 90 درجة.^[١]

يُسمّى الضلعان اللذان يحصران الزاوية القائمة بينهما بساقي المثلث أو ضلعي القائمة، ويسمى الضلع المقابل للزاوية القائمة وتراً، وهو الضلع الأطول في المثلث قائم الزاوية، وهناك أنواع عدة للمثلث القائم؛ مثل المثلث الثلاثيني الستيني الذي تكون زواياه ْ30-ْ60-ْ90 والمثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين الذي يكون قياس زاويتين فيه ْ45.^[٢]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون المثلث قائم الزاوية.

حساب مساحة المثلث القائم

يمكن حساب مساحة المثلث قائم الزاوية باستخدام إحدى الطرق الآتية:^[٣]

• القانون العام لحساب مساحة المثلث: وهي تعتمد على طول قاعدة المثلث وارتفاعه، ولأن إحدى ساقي المثلث متعامدة على الساق الأخرى فإن إحداهما تمثّل القاعدة لهذا المثلث، والأخرى تمثّل ارتفاعه؛ بحيث تكون الزاوية بين الساق والارتفاع 90 درجة:
  • مساحة المثلث = (1/2)×طول القاعدة×الارتفاع.
    • يمكن عند معرفة طول الوتر وطول إحدى الساقين حساب طول الساق الأخرى باستخدام نظرية فيثاغورس ثم تعويضها في القانون السابق؛ حيث تنص نظرية فيثاغورس أن:
      • الوتر²= الضلع الأول² الضلع الثاني².
    • يمكن كذلك عند معرفة طول الوتر وإحدى الزوايا، أو طول إحدى الساقين وقياس إحدى الزوايا حساب الأضلاع المجهولة باستخدام قوانين جيب، وجيب تمام، وظل الزوايا، وهي:
      • جا (الزاوية)= الضلع المقابل/الوتر.
      • جتا (الزاوية)= الضلع المجاور/الوتر.
      • ظا (الزاوية)= الضلع المقابل/الضلع المجاور.
    • مساحة المثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية: لأن ساقي المثلث قائم الزاوية متساويتان، وتمثل إحداهما القاعدة، والأخرى ارتفاع المثلث، فإن القانون السابق يمكن أن يُكتب بطريقة أخرى هي:
      • مساحة المثلث = (1/2)×طول الساق².

• صيغة هيرون: (Herons formula): إذا كان ضلعا القائمة أ، ب والوتر ج، فإن المساحة وفق صيغة هيرون هي:^[٢]
  • مساحة المثلث = [س×(س-أ)×(س-ب)×(س-ج)]√، حيث إنّ:
    • س=(أ ب ج)/2.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول أضلاع المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حساب أضلاع المثلث القائم.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول ارتفاع المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقالات الآتية: ارتفاع المثلث القائم.

أمثلة على حساب مساحة المثلث

• المثال الأول: إذا كانت قاعدة المثلث القائم 4 سم، وارتفاعه 3 سم، فما مساحته؟^[٤]
  • الحل: من خلال القانون: مساحة المثلث = (1/2)×طول القاعدة×الارتفاع ينتج أن: مساحة المثلث= (1/2)×4×3 = 6سم².

• المثال الثاني: إذا كانت قاعدة المثلث 4 سم، والوتر 5 سم، فما مساحته؟^[٥]
  • الحل:
  • استخدام قانون فيثاغورس لإيجاد الارتفاع، وذلك كما يلي: (الوتر)² = (الضلع الأول)² (الضلع الثاني)²، وبالتالي فإن:
    • ارتفاع المثلث² = الوتر² – القاعدة²= 25-16= 9، وبأخذ الجذر التربيعي فإن الارتفاع= 3سم.
  • تطبيق قانون مساحة المثلث القائم بعد إيجاد الارتفاع: مساحة المثلث القائم= (1/2)×4×3 = (1/2)*12=6 سم².

• المثال الثالث: إذا كان طول ضلعي القائمة في مثلث قائم 10، و0.1، فما مساحته؟^[٦]
  • الحل: يمثل ضلعي القائمة ارتفاع المثلث وطول قاعدته، وبالتالي فإن مساحة المثلث تساوي: 1/2×0.1×10= 1/2سم².

• المثال الرابع: إذا كانت ارتفاع المثلث 12 سم، والوتر 24 سم، فما مساحته؟^[٤]
  • الحل:
  • استخدام قانون فيثاغورس لإيجاد طول القاعدة، وذلك كما يلي: (الوتر)² = (الضلع الأول)² (الضلع الثاني)²، وبالتالي فإن:
    • 24²= 12² طول القاعدة²، ومنه: طول القاعدة² = 432، وبأخذ الجذر التربيعي فإن طول القاعدة= 20.8سم.
  • تطبيق قاعدة مساحة المثلث القائم: مساحة المثلث القائم= (1/2)×20.8×12 = 125سم².

• المثال الخامس: إذا كان محيط مثلث قائم الزاوية 12سم، وطول وتره 5سم، جد مساحته.^[٤]
  • الحل:
  • من خلال معرفة أن محيط المثلث يساوي مجموع أطوال أضلاعه فإن: 12= طول الوتر طول الساق الأولى (س) طول الساق الثانية (ص)، ومنه: 12=5 س ص، ومنه: س ص=7.
  • من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس ينتج أن: الوتر²= الضلع الأول² الضلع الثاني²، ومنه: 5²=س² ص².
  • بتعويض قيمة ص=7-س في المعادلة 25 = س² (7-س)²، ينتج أن: 25= س² س²-14س 49، وبترتيب المعادلة ينتج: س²-7س 12=0، ومنه: س=4، أو س=3.
  • حساب قيمة ص عن طريق: ص=7-3=4، أو ص=7-4=3، وعليه فإن طول ساقي المثلث هو: 3،4 سم.
  • تطبيق قانون مساحة المثلث القائم: مساحة المثلث القائم= (1/2)×4×3 = 6سم².

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المثلث قائم الزاوية يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حساب محيط المثلث القائم.

• المثال السادس: إذا كان قياس زوايا مثلث قائم الزاوية هي: 30، 60، 90 درجة، وكان طول وتره هو 8سم، جد مساحته.^[٤]
  • الحل:
  • بافتراض أن الزاوية المحصورة بين القاعدة والوتر هي 30 درجة يمكن حساب طول القاعدة عن طريق جيب تمام الزاوية، وذلك كما يلي:
    • جتا(30) = طول القاعدة/الوتر، ومنه: طول القاعدة = 0.866×8 = 6.9سم.
  • بافتراض أن الزاوية المحصورة بين القاعدة والوتر هي 30 درجة يمكن حساب الارتفاع عن طريق جيب الزاوية، وذلك كما يلي:
    • جا(30) = الارتفاع/الوتر، ومنه: الارتفاع= 0.5×8 = 4سم.
  • تطبيق قانون مساحة المثلث القائم: مساحة المثلث القائم= (1/2)×6.9×4 = 13.9سم².

• المثال السابع: إذا كانت قاعدة المثلث القائم 11 سم، وارتفاعه 13 سم، فما مساحته؟^[٧]
  • الحل: من خلال القانون: مساحة المثلث = (1/2)×طول القاعدة×الارتفاع ينتج أن: مساحة المثلث= (1/2)×11×13 = 71.5سم².

• المثال الثامن: إذا كانت قاعدة المثلث القائم 3سم، ومساحته 18 سم²، فما هو ارتفاعه؟^[٨]
  • الحل: من خلال القانون: مساحة المثلث = (1/2)×طول القاعدة×الارتفاع ينتج أن: 18= (1/2)×3×الارتفاع، وبحل المعادلة ينتج أن: الارتفاع= 12سم.

• المثال التاسع: إذا كان طول وتر المثلث القائم ومتساوي الساقين 50سم، جد مساحته؟^[٩]
  • الحل:
  • من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس ينتج أن: الوتر²= الضلع الأول² الضلع الثاني²، وبما أن الضلع الأاول=الضلع الثاني فإن: الوتر²= 2×طول الساق²، ومنه 50² = 2×طول الساق² ، وبقسمة الطرفين على (2) ، وأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: طول ساق المثلث= 35.35سم.
  • تعويض القيم في القانون: مساحة المثلث = (1/2)×طول الساق² = 1/2×35.35² = 625سم².

• المثال العاشر: إذا كان طول أضلاع مثلث قائم الزاوية: 3، 4، 5سم، جد مساحته باستخدام صيغة هيرون.
  • الحل:
  • حساب قيمة س، وهي: س=(أ ب ج)/2 = (3 4 5)/2 = 6.
  • تعويض القيم في القانون: مساحة المثلث = [س×(س-أ)×(س-ب)×(س-ج)]√ = [6×(6-3)×(6-

)×(6-5)]√ = [6×(3)×(2)×(1)]√ = 6سم².

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث رياضيات عن المثلثات، انواع المثلثات.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: كيف أحسب مساحة المثلث.

فيديو عن كيفية حساب مساحة المثلث

للتعرف على كيفية حساب مساحة المثلث شاهد الفيديو:^[١٠]

المراجع

1. ↑ Rakhee Dutta (22-4-2018), “Area of a Right Triangle”، www.toppr.com, Retrieved 4-2-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “Right Angled Triangle”, byjus.com, Retrieved 20-4-2020. Edited.
3. ↑ Hanna Pamuła, “Area of a Right Triangle Calculator”، www.omnicalculator.com, Retrieved 20-4-2020.
4. ^ ^{أ ب ت ث} “Basic Geometry : How to find the area of a right triangle”, www.varsitytutors.com, Retrieved 4-2-2019. Edited.
5. ↑ “Basic Geometry : How to find the area of a right triangle”, www.varsitytutors.com, Retrieved 4-2-2019. Edited.
6. ↑ “Basic Geometry : How to find the area of a right triangle”, www.varsitytutors.com, Retrieved 4-2-2019. Edited.
7. ↑ “FINDING THE AREA OF A TRIANGLE”, www.onlinemath4all.com, Retrieved 20-4-2020. Edited.
8. ↑ “Area of a Triangle”, www.mathgoodies.com, Retrieved 20-4-2020. Edited.
9. ↑ “Area and Perimeter of Right Triangles Problems With Solution”, www.analyzemath.com, Retrieved 20-4-2020. Edited.
10. ↑ فيديو عن كيفية حساب مساحة المثلث.