دائرة الوحده

دائرة الوحده (بالانجليزية: unit circle)، هي دائرة نصف قطرها واحد صحيح ومركزها نقطة الأصل (0، 0).

تقوم دائرة الوحدة على المنهج الديكارتي المُعتمد على:

البداهة.
الاستنباط.
الانتقال من المُبرهن والمعروف إلى المجهول.

تُمثل دائرة الوحدة جبريًا باستخدام معادلة الدرجة الثانية بمتغيرين x وy في مستوى الاحداثيات على هيئة دائرة نصف قطرها وحدة واحدة ومركزها عند نقطة الأصل (0، 0).

يقسم المستوى الاحداثي الدائرة إلى أربعة أجزاء:

أولًا، الربع الأول، ويضم الزوايا بدءً من الزاوية 0 / 360 إلى الزاوية 90 ( ${\pi }$ /2).
ثانيًا، الربع الثاني، ويضم الزوايا بدءً من 90 درجة إلى 180 درجة ( ${\pi }$ ).
ثالثًا، الربع الثالث، ويضم الزوايا بدءًا من 180 درجة إلى 270 درجة ( ${\pi }$ 3 / 2).
رابعًا، الربع الرابع، ويضم الزوايا بدءًا من 270 درجة إلى 0 / 360 درجة ( ${\pi }$ 2).

وتعتمد فكرة دائرة الوحدة على عددًا من الأسس الجبرية مثل:

اختلاف قيم الـ س و الـ ص على المستوى الاحداثي بناءً على الربع الواقع به بالنسبة لخط الأعداد.
قانون فيثاغورث عند رسم مثلث قائم الزاوية مركزه نقطة الأصل مع تثبيت طول الوتر به ليساوي الوحدة = نصف قطر الدائرة.
معادلة الدرجة الثانية عند استخدام قاعدة فيثاغورث.

مربع الضلع الأول + مربع الضلع الثاني = مربع الوتر = 1

𝜃 هي الزاوية الواقعة بين الوتر والضلع المُجاور له في المثلث قائم الزاوية.

وتُستخدم دائرة الوحدة بشكلٍ أساسي في الدوال المثلثية ومعرفة قياسات الزوايا المُختلفة اعتمادًا على قانون فيثاغورس الرياضي القائم على إيجاد الضلع المفقود في مثلث قائم الزاوية. [1][2][3]

هل يُمكن ايجاد احداثيات س و ص وفقًا للزاوية 𝜃 بالربع الأول

نعم، يُمكن ايجاد احداثيات س و ص بالربع الأول اعتمادًا على حساب المثلثات القائمة الزاوية بدلالة دائرة الوحدة

عند رسم مثلث قائم الزاوية مركزه نقطه الأصل (0،0) نحصل على مثلث قائم الزاوية أضلاعه 1، س، ص حيث الوتر به مساويًا للوحدة، كما نحصل على زاوية θ بين متجه نصف القطر مع المحور السيني الموجب وبتطبيق علم المُثلثات نستنتج مايأتي:

جا 𝜃 = الضلع المقابل للزاوية ÷ الوتر = ص ÷ 1 = ص ⇐ ∴ ص = جا 𝜃

جتا 𝜃 = الضلع المجاور للزاوية ÷ الوتر = س ÷ 1 = س ⇐ ∴ س = جتا 𝜃

ظا 𝜃 = الضلع المقابل للزاوية ÷ الضلع المجاور للزاوية = ص ÷ س ⇐ ∴ ص/س = ظا 𝜃

⇓

نستنج مما سبق أن الاحداثية (س ، ص ) في الربع الأول = (جتا 𝜃 ، جا 𝜃 ) = (sinθ ، cosθ)

وتنطبق هذه القوانين على الأربع أجزاء الموجودة بدائرة الوحدة مع مراعاة اختلاف اشارة الـ س و ال ص وفقًا للاحداثيات الخاصة بها كما هو موضح كالتالي:

قيم س و ص موجبة في الربع الأول.
قيم س وص سالبة في الربع الثالث.
قيمة ص سالبة في الربع الرابع بينما قيمة س موجبة.
قيمة س سالبة في الربع الثاني بينما قيمة ص موجبة. [1][2][3]

زوايا دائرة الوحده

أي نقطة على دائرة الوحدة لها احداثيات (س ، ص) المُساوية لـ (جتا 𝜃 ، جا 𝜃 ).

عند رسم خط نصف قطر في أي جزء من الدائرة يُمكننا الحصول على احداثيات نقطة نهاية نصف القطر من خلال معرفتنا بـ قيمة الزاوية 𝜃 الناتجة عن فرضية رسم مثلث قائم الزاوية مركزه نقطة الأصل ووتره مساوي للوحدة حيث:

ص = جا 𝜃
س = جتا 𝜃
ص/ س = جا 𝜃 ÷ جتا 𝜃 = ظا 𝜃

عند حساب زوايا دائرة الوحدة يُراعي موقع نصف القطر على خط الاعداد الإحداثي لمراعاة الطبيعة السالبة والموجبة للنقاط.

ولتبسيط الأمر دعنا ننظر إلى الأمثلة التطبيقية القادمة: [1][2][3]

السؤال الأول: أوجد قيمة جا 𝜃 في وضعها القياسي عند مرور ضلعها النهائي بالنقطة (3/5 ، 5/-4)

المُعطيات:

س = 3/5 ⇐ قيمة س موجبة تعني وقوعها في الربع الأول أو الرابع اعتمادًا على قيمة ص.
ص = 5/-4 ⇐ قيمة ص سالبة مما يعني وقوعها في الربع الرابع أو الثالث اعتمادًا على قيمة س.

ما هي دائرة الوحده ؟ .. وزواياها

الحل: بفرضية رسم مثلث قائم الزاوية مركزه نقطة الأصل يُمكننا اثبات أن الوتر الناتج عن مرور ه بالنقطة (3/5 ، 5/-4) يقع على دائرة الوحدة.

ما هي دائرة الوحده ؟ .. وزواياها

وبتطبيق نظرية فيثاغورس مربع الضلع الأول + مربع الضلع الثاني = مربع الوتر نجد أن (3/5)² + (5/-4)² = ج² = 1 وهو ما يوافق الفكرة الأساسية لدائرة الوحدة (نصف القطر يساوي الوحدة).

⇓

إذن تقع النقطة (3/5 ، 5/-4) على دائرة الوحدة

⇓

إذن جا 𝜃 = ص = 5/-4

السؤال الثاني: هل تقع النقطة الإحداثية (1/2, 1/2) على دائرة الوحدة.

المُعطيات:

س = 1/2.
ص = 1/2.

الحل: نُطبيق نظرية فيثاغورس التي تفترض أن مربع الضلع الأول + مربع الضلع الثاني = مربع الوتر

⇓

(1/2)² + (1/2)² = الوتر

⇓

(1/2)² + (1/2)² = 1/8

⇓

الوتر ≠ الوحدة = 1

⇓

النقاط لا تقع على دائرة الوحدة.

لماذا سميت دائرة الوحدة بهذا الاسم

سميت دائرة الوحدة بهذا الاسم لأن نصف قطرها يُساوي الوحدة.

تتميز دائرة الوحدة بعنصر أساسي يُميزها عن غيرها من وهو أن نصف القطر الخاص بها يُساوي الوحدة الواحدة ومنه يُشتق الإسم الخاص بها. [1][2][3]

المحتويات المرئية المُتاحة إلكترونيًا لدراسة دائرة الوحدة

نقدم لكم فيما يأتي مجموعة مختارة من الفيديوهات والمواقع التعليمية المُبسطة لدراسة دائرة الوحدة بشكل تعمقي أكثر باللغة العربية:

أولًا، فيديو تعليمي مُقدم عن دائرة الوحدة وربطها بالمثلثات قائمة الزاوية، مُقدمة من أحد أساتذة الرياضيات.

ثانيًا، فيديو تعليمي عن المُتطابقات المُثلثية من دائرة الوحدة لحل المسائل الدراسية الخاصة بالصفوف الثانوية لعلم الرياضيات.