مثلثات فيثاغورس المشهورة

مثلثات فيثاغورس المشهورة

مثلثات فيثاغورس تعبر عن علاقة في المثلث قائم الزاوية، يكون في مثلثات فيثاغورس مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي المثلث القائم الزاوية

فيثاغورس هو عالم رياضيات شهير كان مهتمًا بمجالات علمية عديدة، وليس فقط الرياضيات، فكان مهتمًا في الرياضيات، والعلوم والفلسفة، ولد في اليونان عام 570 قبل الميلاد وهو تاريخ قديم للغاية، وهذا يعني أن العالم فيثاغورس هو عالم قديم للغاية، وأن علاقته التي توصل لها كانت سابقة بشكل كبير لأوانها، هذه العلاقة تعرف باسم علاقة فيثاغورس أو مبرهنة فيثاغورس الشهيرة في المثلث القائم التي تكون إحدى زواياه 90 درجة.

وتتألف مثلثات فيثاغورس مثل

المثلثات

العادية من مثلث له ثلاث أضلاع، والعلاقة الأساسية في مثلثات فيثاغورس يتم التعبير عنها بالشكل التالي:

• a2 + b2 = c2
• ‘c’ يعبر عن وتر المثلث القائم، بينما ‘a’ و ‘b’ هي أضلاع المثلث القائم
• مثال للشرح: a2 + b2 = c2، وبتطبيق القاعدة وتعويض الأرقام في مثلث أطوال أضلاعه 3، 4 والوتر طوله 5
• 3^2 +4^2= 5^2 إذا قمنا بحساب النتائج نحصل على: 9 + 16 = 25 (إذا جمعنا الطرف على اليمين نجد أنه مساوي للطرف على اليسار، بالتالي علاقة فيثاغورث صحيحة)

أشهر مثلثات فيثاغورس هي ثلاثيات الأرقام التالية:

• (3,4,5)
• (5,12,13)
• (7,24,25)
• (9,40,41)
• (11,60,61)

من مثلثات فيثاغورس الشهيرة هي المذكورة أيضًا في الجداول التالية (هذه الجداول جميعها يمكن إثبات فيها صحة نظرية فيثاغورس، فلو قمنا بتربيع أطول الأضلاع في المثلث وهو الوتر أي أكبر رقم من الأرقام الثلاثة، فسوف نحصل على مجموع مربعي الرقمين المتبقين، وهما الضلعين القائمين في المثلث قائم الزاوية)

أما الأرقام وأطوال اضلاع المثلث القائم الزاوية وطول وتره الأطول من 100 والتي تعتبر من الارقام الشهيرة التي ينطبق عليها قاعدة فيثاغورس هي:

أمثلة على مثلثات فيثاغورس المشهورة

هناك أمثلة كثيرة تصف وتؤكد مبرهنة

فيثاغورس

الشهيرة، وهناك عدد كبير من ثلاثيات الأرقام المذكورة في الأعلى وجميعها يمكن تطبيقها، على سبيل المثال، لا يمكن ذكر مثلثات فيثاغورس الشهيرة بدون ذكر الثلاثية الأشهر وهي (3, 4, 5)، حيث تعتبر هذه الثلاثية الأشهر في مثلثات فيثاغورس ويتم تعليمها للطلاب في المدارس من مرحلة باكرة، وإذا قمنا بضرب هذه الأرقام بالعدد 2 يمكننا أن نحصل على ثلاثية تنطبق عليها علاقة فيثاغورس أيضًا (6, 8, 10)، ولتطبيق ذلك يتم:

• المثال الأول: 3^2+ 4^2= 5^2
• 9+16 = 25
• 25 = 25
• المثال الثاني: 6^2+ 8^2= 10^2
• 36 + 64 = 100
• 100 = 100

هذان المثالين هما أمثلة بسيطة على ثلاثيات الأرقام التي تنطبق عليها علاقة فيثاغورس، وفي الواقع الأمثلة حول مبرهنة فيثاغورس لا نهائية، ويمكن إيجاد ثلاثيات غير منتهية من الأعداد التي يمكن أن تنطبق عليها علاقة فيثاغورس، ويمكننا أن نحصل أيضًا على أعداد تنطبق عليها مبرهنة فيثاغورس من خلال مضاعفة الأعداد الموجودة لدينا وضربها بالعدد 2 والعدد 3 أو بالعدد 4، ويجب علينا أن نضرب ثلاثية الأرقام جميعها كي نحصل على أعداد تنطبق عليها مبرهنة فيثاغورس، وهذا الجدول يوضح المقصود [1] [2]

اثبات مثلثات فيثاغورس المشهورة

لا يمكن أن نعتقد أن أي ثلاثية أعداد ينطبق عليها مبرهنة فيثاغورس، ولإثبات ذلك يجب أن نثبت صحة العلاقة، وهي مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين، ومثال على ذلك يجب علينا أن نثبت أن (5, 12, 13) هي ثلاثية أعداد ينطبق عليها مبرهنة فيثاغورس

الحل هو أن نقوم بتطبيق العلاقة الشهيرة في مبرهنة فيثاغورس  a2 + b2 = c2 ونقوم بتطبيق الأرقام في العلاقة، (a, b, c) = (5, 12, 13) ونقوم بتعويض الأرقام في العلاقة

• 5^2 + 12^2= 13^2
• 25+ 144= 169
• 169 = 169

هذا الامر يثبت أن ثلاثية الأرقام التي قمنا باختيارها صحيحة، لأن مبرهنة فيثاغورس تنطبق على هذه الأرقام، وبالتالي المثال الصحيح

مثال ثاني

: هل ينطبق على هذه الأرقام مبرهنة فيثاغورس، وهي (7, 15, 17)، ونقوم بتطبيق العلاقة السابقة من أجل اثبات اذا كانت مبرهنة فيثاغورس تنطبق على هذه الأرقام أم لا (a, b, c) = (7, 15, 17)، ونقوم بتطبيق العلاقة

• a2 + b2 = c2، نقوم بتعويض الأرقام وهي
• 7^2+ 15^2= 17^2
• 49 + 225 = 289
• 274 ≠ 289

بما أن الأرقام غير متطابقة، فهذا يعني أن مبرهنة فيثاغورس لا تنطبق على ثلاثية الأرقام التي قمنا باختيارها، وبالتالي هذه الأرقام ليست ثلاثية من ثلاثيات فيثاغورس

مثال ثالث:

هل تعتبر ثلاثية الأرقام (4,5,8) تنطبق عليها ثلاثية فيثاغورس، وهي:

• 4^2 + 5^2= 8^2
• 16+25 = 41
• مربع الوتر هو 64
• 64 لا تساوي 41
• بالتالي هذه الأرقام لا تنطبق عليها علاقة فيثاغورس الشهيرة.

والعكس في هذه الأمور صحيح، فإذا كنا متأكدين من أن مبرهنة فيثاغورس تنطبق على مثلث ما، لكنا لا نعلم أبعاد هذا المثلث، فيمكننا من خلال مبرهنة فيثاغورس والعلاقة الرياضية بين الأعداد أن نكشف على طول ضلع ما، وهذه العلاقة لا تنطبق إلا على المثلث قائم الزاوية.

على سبيل المثال:

لدينا مثلث أطول أضلاع (5، 12، س) س تعبر عن طول الوتر، نقوم بتطبيق العلاقة:

• a2 + b2 = c2 هذه العلاقة باللغة العربية تساوي: أ2 + ب2= س2
• نقوم بالتعويض: 5^2+ 12^2= س2
• 25+ 144= س2
• 169= س2
• س2= √169
• نقوم بجذر الطرفين فنحصل على الإجابة التي نريدها وهي:
• س= 13

مثال آخر

: لدينا مثلث قائم الزاوية ينطبق عليه مبرهنة فيثاغورس طول وتره 15 وطول إحدى ضلعين القائمين 9، وطول الضلع الثالث مجهول، أجد طول الضلع الثالث اعتمادًا على مبرهنة فيثاغورث

• نقوم بكتابة العلاقة الشهيرة: a2 + b2 = c2 وهي أ2 + ب2= س2
• 9^2 + ب^2 = 15^2
• نقوم بحساب مربعات الأعداد المعلومة: 81 + ب2 = 225
• نقوم بحذف 81 من الطرفين: 81-81 + ب2 = 225-81
• نقوم بحساب العملية: ب2= 144
• نقوم بجذر الطرفين ب = √144
• نحسب الإجابة: ب = 12

مثال:

لدينا مثلث بزاوية قائمة طول ضلعه 1 وطول ضلعه القائم الآخر 1 أيضًا، قم بحساب وتر هذا المثلث القائم من خلال مبرهنة فيثاغورس الشهيرة

• الخطوة الأولى: كتابة علاقة فيثاغورس الشهيرة a2 + b2 = c2 وهي أ2 + ب2= س2
• الخطوة الثانية: تعويض الأرقام في مبرهنة فيثاغورس 12 + 12 = c2
• الخطوة الثالثة: حساب مربعات الأعداد 1 + 1 = c2
• الخطوة الرابعة: جمع الأعداد 1+1=2، فتصبح العلاقة كالتالي: 2 = c2
• الخطوة الخامسة: نقوم بجذر الطرفين: c = √2
• نحصل على الإجابة وهي: c = 1.4142.

[3]