ما هي حدسية بريتش-داير

حدسية بريتش- داير

إن حدسية بريتش داير في الرياضيات تصرح بأن المنحني الإهليجي ألا وهو نوع من المنحنى المكعب أو منحنى جبري من الرتبة الثالثة المحصور في منطقة تعرف باسم الحلقة، يكون لديه عدد لا نهائي من النقاط المنطقية أو يحتوي على عدد محدود من النقاط النسبية، ويعود هذا إلى الدالة المرتبطة به فإذا كانت مساوية للصفر أم لا على التوالي، كما أن لكل منحني إهليجي E تابع عقدي بمتغيرs حيث أنه يعرف بالدالة اللامية ورمزها E(L،s)‎.

عمل العالمان بريتش وداير على اكتشاف الدالة اللامية للمنحني الإهليجي من خلال التجارب حيث أنه ينص على أن درجة انعدام التابع ‎ E(L،s)‎ عند النقطة s=1  مرتبط ببعد الشبكية ويكون متواجد في زمرة النقاط الكسرية، ولكن تم هذا الأمر بالتجربة وليس بالبرهان الرياضي، حيث أن في أوائل الستينات في إنجلترا استخدم  العالمان البريطانيان بريتش وبيتر سوينرتون داير جهاز الكمبيوتر ويسمى بالآلة الحاسبة الأوتوماتيكية للتخزين الإلكتروني المتأخر، لإجراء بعض التحقيقات الرقمية التي ترتبط بالمنحنيات الإهليجية، وبناء على هذه النتائج العددية توصلوا إلى تخمينهم الشهير، ولهذا سميت بالحدسية لأنها اعتمدت على التجربة، أما عند تعتمد على البرهان الرياضي تسمى فرضية.

وفي عام 2000 صُنف تخمين بريتش داير على أنه مشكلة ألفية وهو أحد المشاكل الرياضية التي وضعها معهد كلاي ضمن مسائل الألفية السبع في الرياضيات و حدد جائزة مقدارها مليون دولار لمن يستطيع حلها وتقديم برهان رياضي مقبول لأي مسألة من مسائل رياضية عجز العلماء عن حلها، وكما نعلم أن المسائل الألفية عددها سبعة مسائل وهي p=NP k ، وحدسية بوانكاريه وفرضية ريمان بالإضافة إلى

حدسية هودج

و معادلات نافييه-ستوكس وأيضاً نظرية يانغ-ميلز تعتبر من هذه المسائل الصعبة و أخيراً حدسية بريتش-داير، وللآن لم يستطع أحد حل هذه المسائل وتقديم براهين مقبولة.[1]

ما هو المنحني الإهليجي

إن المنحني الإهليجي ودراسته كانت منذ القدم وما زال حتى يومنا الحالي، حيث أننا نجده يدرّس في الكثير من فروع الرياضيات الحديثة، وخاصة في قسم نظرية الأعداد، فيُعرّف المنحني الإهليجي بأنه منحنى جبري ناعم بالإضافة إلى أنه منحني إسقاطي غير دائري يعطى بواسطة معادلة Weierstrass equation و نستطيع وضعه في الصيغة الرياضية التالية:

وحتى يكون المنحني الجبري ناعماً يجب أن يكون المميز الموجود في الصيغة التالية غير مساوي للعدد صفر

وعندما نضع  a= -1 و b = 0 سينتج معنا كما هو موضح في الصورة

ومن الرسم الموجود في الصورة نجد بأن p4=p1+p2 ، وإن مجموعة النقاط الكسرية مع عملية الجمع السابقة التي تشكلت لدينا تعملان على تشكيل ما يسمى بالزمرة، كان لويس موريديل وأندريه وايل أول من عملا على تحديد بنية هذه الزمرة من النقاط الكسرية، وقد توصلوا بجهدهم لنظرية تسمى نظرية موردل-وايل عام 1922.[2]

أهمية حدسية بريتش-داير

إن حدسية بريتش-داير تتميز بأنها تعمل على الربط بين عالم الجبر المليء بمعادلات كثيرات الحدود مع عالم التوابع العقدية حيث أن الدالة اللامية تنتمي لها، ولا عجب أنها قامت وساهمت في تطوير نظرية الأعداد.

المعادلات الرياضية وحدسية برديتش داير

هناك بعض

مسائل رياضية عجز العلماء عن حلها

فمنها صنف من المسائل الألفية السبعة ومنها لم تندرج تحت المسائل الألفية اعتقاداً لعدم وصولها للصعوبة والتعقيد التي وصلت إليها المسائل الألفية ومن هذه المسائل هي:

تخمين جولدباخ-Goldbach’s Conjecture

• فهي من أكبر الألغاز التي لم يتم حلها في الرياضيات، وينص حدس جولدباغ على أن كل عدد زوجي أكبر من اثنين هو مجموع اثنين من الأعداد الأولية، فقد قامت أجهزة الكمبيوتر بفحص التخمين لتبحث عن أرقام تصل إلى حد ما، لكننا بحاجة إلى إثبات لجميع الأعداد الطبيعية.
• نشأت حدسية جولدباخ من رسائل عام 1742 التي كانت بين عالم الرياضيات الألماني الذي يدعى بكريستيان غولدباغ وعالم الرياضيات السويسري الذي يدعى ليونارد أويلر، وهذه الرسالة تعتبر واحدة من أعظم الرسائل في تاريخ الرياضيات، وقال أويلر أنه يعتبر تخمين جولدباخ نظرية مؤكدة تماماً على الرغم من عدم قدرته على إثباتها.
• حيث أن أويلر يشعر بأن تخمين جولدباخ هدفه التقليل من شأن الأعداد الكبيرة جداً، فعندما تنظر إلى الأعداد الكبيرة تجد أن لديها طرقاً أكثر لكتابتها كمجموعات أولية، مثل أن الرقمين 5+3 هما الطريقة الوحيدة لتقسيم الرقم ثمانية إلى مجموعتين أوليتين، لكن الرقم 42 نستطيع تقسيمه إلى 5 + 37 ، 11 + 31 ، 13 + 29 ، و 19 + 23.
• ونجد أن ما زال إثبات التخمين لجميع الأرقام بعيداً عن علماء الرياضيات حتى يومنا هذا فحدس جولدباخ هو من أقدم الأسئلة المفتوحة في الرياضيات.

التخمين الرئيسي التوأم-The Twin Prime Conjecture

إن هذا التخمين يعتبر الأكثر شهرة في محور نظرية الأعداد في الرياضيات، أو في دراسة الأعداد الطبيعية وخصائصها، وهي غالباً ما تتضمن الأعداد الأولية، فعندما يكون الفرق بين اثنين من الأعداد الأولية 2 فيطلق عليها الأعداد الأولية التوأم، إذاً 11 و13 هي أعداد أولية مزدوجة، كما هو الحال في العددين 599 و 601، فهي حقيقة نظرية الأعداد حيث أن هناك عدداً لا نهائياً من الأعداد الأولية، والسؤال المطروح هنا هل يتواجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية التوأم؟ ، فإن تخمين التوأم يقول نعم.

إن علماء الرياضيات استطاعوا معالجة إصدارات أقرب من حدسية التوأم الأولي، حيث أن تم إثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية بفارق 70.000.0000 بواسطة Yitang Zhang عام 2013 من جامعة نيو هامبشاير، وعمل علماء الرياضيات أيضاً على تحسين هذا الرقم في برهان تشانغ، فحُسِّن من الملايين إلى المئات، فحسب تخمين التوأم يجب أن يكون هذا الرقم ممتد إلى 2 أما العلماء فقد وصلوا بالنظر إلى بعض الافتراضات الفنية الدقيقة إلى 6، فهنا نحتاج إلى تحديد ما إذا كانت الخطوة من 6 إلى 2 قريبة تماماً، أو أن هذه الفكرة ستتحدى علماء الرياضيات لعقود أطول.

فرضية ريمان-The Riemann Hypothesis

نجد أن علماء الرياضيات يعتبروا فرضية ريمان هي من أهم المشاكل المفتوحة في الرياضيات، فهي إحدى مشكلات جائزة


مسائل الألفية السبع في الرياضيات

،

فلها آثار عميقة في فروع الرياضيات وسنبين فكرتها بشكل مبسط.

فإن هناك دالة تسمى بدالة زيتا ريما و تقول هذه الدالة أن لكل s ، تعطي هذه الدالة مجموعًا لا نهائيًا ، والذي يتطلب بعض حساب التفاضل والتكامل الأساسي للوصول إلى أبسط قيم s، مثلاً  إذا كانت s = 2 ، فإن( 𝜁 (s هي السلسلة المعروفة 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… ، والتي تضيف بشكل غريب إلى 𝜋² / 6 فعندما تكون s عددًا مركبًا  يشبه a + b𝑖 ، باستخدام الرقم التخيلي 𝑖  يصبح العثور على( 𝜁 (s أمرًا صعبًا، ونظرية ريمان تدور حول متى 𝜁 (s )=0 فإن البيان الرسمي لها ينص على أن كل صفر غير بيديهي من دالة زيتا ريمان له جزء حقيقي 1/2على مستوى الأعداد المركبة، وهذا يدل أن وظيفها تتجلى على طول خط عمودي خاص.

فقد جاءت الفرضية ودالة زيتا من عالم الرياضيات الألماني الجنسية الذي يدعى برنارد ريمان، فقد وصف هذ الدالة والفرضية عام 1859 وعمل ريمان على تطويرهما أثناء دراسته للأعداد الأولية وتوزيعها، ونتج عن هذا التطوير ازدهار فهمنا للأعداد الأولية، ولكن تكمن المشكلة في الافتقار لإيجاد حل لفرضية ريمان، حيث إن حلها سيفتح سيلاً من التقدم في الرياضيات، وسيتجلى هذا التقدم في نظرية الأعداد والتحليل، فلوقتنا الحالي تعتبر فريضة ريمان واحدة من أكبر السدود على نهر أبحاث الرياضيات.[3]