خريطة مفاهيم المتجهات في المستوى الاحداثي

تعريف المتجه

المتجه هو كائن له مقدار واتجاه هندسيا ، فيمكن أن نتخيل متجها كقطعة مستقيمة موجهة ، ويكون طولها هو حجم المتجه وبسهم يشير إلى الاتجاه ، ويكون اتجاه المتجه من ذيل السهم إلى رأسه [1] .

ويكون المتجهان متماثلان إذا كان لهما نفس الحجم والاتجاه ، أي أنه إذا أخذنا متجها وقمنا بترجمته إلي موضع جديد بدون تدويره فإن المتجه الذي سوف نحصل عليه في نهاية هذه العملية هو نفس المتجه الذي كان موجود في البداية .

وتمثل المتجهات كل من القوة والسرعة فكل من القوة والسرعة في اتجاه معين ، ونشير إلى المتجهات باستخدام الخط الغامق كما في أ أو ب ، خاصة عند الكتابة باليد .

حيث لا يمكن الكتابة بخط عريض بسهولة ، يشير الأشخاص أحيانًا إلى المتجهات باستخدام الأسهم كما في أ→ أو ب→ ، أو يستخدمون علامات أخرى .

لن نحتاج إلى استخدام الأسهم هنا، حيث نشير إلى حجم المتجه بواسطة ∥ أ ∥ ∥أ∥ ، عندما نريد أن تشير إلى عدد ، ويمكن أن نسميه عدد من العددية وسوف نشير إلى العددية بخط مائل ، كما في أ أو ب .

هناك استثناء واحد مهم للمتجهات التي لها اتجاه.  و ناقلات الصفر الرمز بواسطة بحروف بارزة 0 ، هو متجه طوله صفر نظرا لأنه ليس له طول ، فإنه لا يشير إلى أي اتجاه معين وهناك ناقل واحد فقط من طول الصفر .

العمليات على المتجهات

تم عمل

بحث عن المتجهات في المستوى الاحداثي

وبذلك يمكننا تحديد عدد من العمليات على المتجهات هندسيا دون الرجوع إلى أي نظام إحداثيات ، وذلك من خلال تعريف الطرح والضرب من قبل العددية .

• 
  إضافة نواقل
  

بالنظر إلى متجهين أ و ب، نشكل مجموعها أ + ب ، على النحو التالي نترجم المتجه ب حتى يتزامن ذيله مع رأس أ ، ثم مقطع الخط الموجه من ذيل أ على رأس ب هو المتجه أ + ب .

وإضافة المتجه تعتبر هي الطريقة التي تتحد بها القوى والسرعات د ، على سبيل المثال: إذا كانت السيارة تسافر باتجاه الشمال بسرعة ٢٠ ميلا في الساعة وكان طفل في المقعد الخلفي خلف السائق يرمي شيئا بسرعة 20 ميلا في الساعة باتجاه أخيه الذي يجلس شرقا منه .

فإن سرعة الجسم سيكون في اتجاه الشمال الشرقي ، حيث تشكل متجهات السرعة مثلثا قائما فتكون السرعة الكلية هي الوتر ، لذلك فإن السرعة الإجمالية للجسم (أي مقدار متجه السرعة ) ٢٠٢+ ٢٠ ٢√= ٢√ ٢٠ ميلا في الساعة بالنسبة إلى الأرض .

• 
  إضافة نواقل تحقق خاصيتين مهمتين.
  

لا يهم القانون التبادلي الذي ينص على ترتيب الإضافة:

أ + ب = ب + أ

ويسمى هذا القانون أيضا قانون متوازي الأضلاع ، حيث يكون اثنان من حواف متوازي الأضلاع تحدد أ + ب ، ويتم تحديد الزوج الآخر من الحواف ب + أ ، لكن كلا الجمعين يساويان نفس القطر من متوازي الأضلاع .

القانون الترابطي الذي ينص على أن مجموع النواقل الثلاثة لا يعتمد على زوج المتجهات الذي تمت إضافته أولا :

( أ + ب ) + ج = ( ج + ب ) + أ

• 
  الطرح المتجه
  

قبل أن نحدد الطرح نحدد المتجه -أ ، وهو عكس أ ، المتجه -أ هو المتجه بنفس المقدار أ ، كن هذا يشير في الاتجاه المعاكس .

نحدد الطرح على أنه جمع بعكس المتجه:

ب- أ = ب + ( -أ )، وهذا يعادل تحول المتجه ( أ ) حول تطبيق القواعد المذكورة أعلاه للإضافة .

المستوى الاحداثي

وفثقا ل

تصميم خرائط مفاهيم

يتكون مستوى الإحداثيات من خطي أرقام متعامدين وعادة ما يكون رقم السطر الأفقي والخط العمودي عدد ، حيث تستخدم على خط الأعداد الأفقي ويسمى محور س ، وعلى خط الأعداد الرأسي ويسمى المحور الصادي [2] .

ويتقاطع المحورين عند نقطة تسمي الأصل  ، يمكنك تحديد أي نقطة على مستوى الإحداثيات من خلال زوج مرتب من الأرقام (س ، ص)، وتسمى الإحداثيات .

المتجهات في مستوى الإحداثيات

طبقا ل

خريطة مفاهيم

المتجهات في المستوى هي المقاطع المستقيمة الموجهة في المستوى ، كما هو محدد في مستوي هذا الموقع ، ومثل أي متجه في مستوى ما .

فإن كل متجه في مستوى إحداثي له النقاط الأولية والنهائية ، ويكون المتجه في مستوى إحداثي مع النقاط الأولية والنهائي تكون إحداثيات نقاط P و Q .

بمعنى آخر ، x1 و x2 هما إحداثيات x للنقطتين P و Q ، بينما y1 و y2 هما إحداثيان y .

• 
  لنفس النقاط
  

وتسمى الأرقام x2 – x1 و- y2- y1 إسقاطات المتجه متجه في مستوى إحداثيات ، ويتم رسم خط على التوالي PR بالتوازي مع ax وعلى التوالي مع خط QR بالتوازي مع ax مع نقطة تقاطع R .

(1)

(2)

اما المثلث PRQ هو المثلث الأيمن ويبلغ طول ساقه PR يساوي x2-x1 ، بينما طول ساقه RQ يساوي y2-y1  ، وبالتالي فإن طول المتجه PQ يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات إسقاطاته وذلك وفقا لنظرية فيثاغورث .

(3)

وفيما يتعلق باتجاه المتجه PQ ، فإن الخط المستقيم الذي يحتوي على المتجه PQ له ميل ليصنع هذا الخط المستقيم الزاوية الحادة مع المحور x ، ويمكن أن يقع المتجه PQ في اتجاه واحد أو في الاتجاه المعاكس على طول هذا الخط المستقيم لذلك .

لتحديد الزاوية الحقيقية بين ناقلات PQ و س – ax، لذا يجب عليك حساب الزاوية:

أولا: وفقا للصيغة (2) ثم التحقق وإجراء التصحيحات إذا لزم الأمر بناء على علامات المكونين x2-x1 و y2-y1 .

• 
  مثال على ذلك
  

إذا كانت الناقلات في تنسيق الطائرة متساوية (أي لها نفس الطول والاتجاه) ثم هم س -axis و ذ -axis التوقعات هي على قدم المساواة في المقابل  .

ندع PQ و MN يكونان متجهين متساويين في مستوى إحداثيات مع النقاط الأولية والنهائية P و Q و M و N في المقابل ، نقوم برسم خط على التوالي PR بالتوازي مع س -axis وعلى التوالي خط QR بالتوازي مع ذ -axis مع نقطة تقاطع R .

ثم نرسم الخط المستقيم MK بالتوازي مع المحور x والخط المستقيم NK الموازي للمحور ذ -axis مع نقطة تقاطع K

لتكون المثلثات PRQ و MKN هي المثلثات القائمة .

ونظرا لأن المتجهين PQ و MN متساويان فإن المثلثين PRQ و MKN يكون لهما جوانب متطابقة في PQ و MN وهو يساوي مجاورة الوتر ، ومن ثم فإن الخطوط المقابلة لهذه المثلثات القائمة تكون متطابقة حيث: PR = Mk و RQ = KN وهذا ما تم إثباته .

فإن المتجهين متساوية في تنسيق الطائرة لديها على قدم المساواة وهذا يعني أن السجل PQ = PQ عبر إسقاطاته ، حيث يحدد المتجه إسقاطاته x – و y – بشكل فريد ، وفي المقابل تحدد الإسقاطات المتجه بطرية أخري ، يطلق على الأرقام x2-x1 و y2-y1 اسم x- و y- مكونات المتجه PQ .

ويكون السجل PQ = PQ (x2-x1، y2-y1) نفس ه، حيث x2-x1 و y2-y1 هما x – و y – ، وهي مكونات المتجه PQ ويسمى شكل مكون من المتجه PQ .