امثلة على خاصية التوزيع
ماهي خاصية التوزيع
تعريف خاصية التوزيع
حيث خاصية التوزيع أو ما يعرف أيضا بقانون التوزيع الخاص بالضرب ، وتعتبر خاصية التوزيع احد اهم الخصائص التي يتم استخدامها في الرياضيات ، فخاصية التوزيع تساعد في تبسيط وتسهيل المسائل الرياضية الصعب [1] .
وتوضح لنا خاصية التوزيع طريقة حل التعبيرات والتي تأتي على شكل أ ( ب + ج ) ، عن طريق الضرب المباشر للعدد الموجود خارج الأقواس مع الأعداد التي بداخله ، ثم نجمع النواتج مع بعضها ، مثل :
أ ( ب + ج ) = أ ب + أ ج
وعلى عكس الطريقة القديمة فإنه عند احتواء التعبيرات الرياضية على أقواس ف، هي أيضا تحتوي على متغيرات ، حيث تتغير الكميات في سياق المسألة الرياضية .
انواع خاصية التوزيع بالأمثلة
خاصية التوزيع للضرب على الجمع
يمكن استخدام
استعمال خاصية التوزيع
حيث تتساوى النتائج عند استخدام خاصية التوزيع أو استخدام تتبع ترتيب العمليات ، في المثال التالي سنقوم بتقييم المسألة وفقا لترتيب العملية ، ونقوم بتبسيط المسألة وما بين الأقواس مثل [2] :
٣ ( ٧ + ٤ ) = ٣ ( ١١ ) = ٣٣
أما باستخدام خاصية التوزيع نقوم بالآتي :
- نزرع الرقم الخارجي على الأرقام داخل القوس ، بمعني نضرب الرقم خارج الأقواس بالأرقام الداخلية .
- بعد عميلة الضرب نقوم بجمع النتيجتين .
- نحص على الحل النهائي .
مثال :
٣ ( ٧ + ٤ ) = ٣ ( ٧ ) + ٣ ( ٤ ) = ٢١ + ١٢ = ٣٣
وهناك أمثلة واقعيه لتوضيح هذه المسألة ، نعتبر أن هناك ثلاث طلاب يملكون سبع حبات من الفراولة ، وأربع من التفاح ، فيمكننا ببساطة معرفة عدد القطع التي يمتلكها كل طالب من الفاكهة .
وذلك عن طريق ضرب عدد الفاكهة في ثلاثة ، وعند تقسيمها فسوف نقوم بضرب سبع حبات من الفراولة في ثلاث ، وضرب اربع حبات من التفاح في ثلاثة أيضا .
لنحصل على ٢١ حبة فراولة ، و١٢ حبة تفاح ، ليصبح المجموع ٣٣ قطعة من الفاكهة .
خاصية التوزيع للضرب على الطرح
على غرار حل المسألة السابقة سيكون تنفيذ خاصية التوزيع في الطرح أيضا ، بإتباع نفس الخطوات والقواعد ، إلا أنها ستكون بالطرح بدلا من الجمع مثل :
٥ ( ٩ _ ٦ ) = ٥ ( ٩ ) _ ٥ ( ٦ ) = ٤٥ _ ٣٠ = ١٥
خاصية التوزيع مع المتغيرات
تمكنا خاصية التوزيع من تبسيط المعادلات عند تعاملنا مع قيم غير معروفة ، وذلك باستخدام قانون التوزيع مع المتغيرات ، وذلك عن طريق عزل ” س ” :
- نضرب أولا الرقم الخارجي في الأرقام داخل القوس .
- نجمع بين نواتج الضرب .
- نرتب النواتج على طرفي علامة التساوي .
- نبسط الرقم ، ويصبح لدينا الناتج .
٤ ( س – ٣ ) = ٢٠
٤ ( س ) – ٤ ( ٣ ) = ٢٠
٤س – ١٢ = ٢٠
٤س – ١٢ + ١٢ = ٢٠ + ١٢
٤س = ٣٢
٤س/٤ = ٣٢/٤
س = ٨
ويجب ملاحظة أنه عند عزل المتغيرات ، ما يتم فعله في أحد الجوانب يتم وضعه في الجانبين الأخر ، وذلك من أجل التخلص من الرقم الزائد ، ففي مثالنا السابق للتخلص من الرقم ١٢ كان علينا إضافة رقم ١٢ في كلا الجانبين ، وذلك من اجل عزل ” س ” واستخراج قيمتها .
خاصية التوزيع مع الأس
والأس هو التدوين المختزل والذي يظهر المرات التي يجب فيها ضرب العدد تلقائي ، وعند وجود قوسين وأس يجب استخدام خاصية التوزيع لحل المسألة وتبسيطها :
نقوم أولا بتوسيع المسألة وفك الأس ، ونقوم بضرب الرقم الأول من المجموعة الأولى في أرقام المجموعة الثانية ، ثم نضرب الرقم الثاني من المجمعة الأولي في المجموعة الثانية .
ثم نجمع النواتج ويتم التبسيط إذا لزم الأمر ، ومن ثم نحصل على النتيجة
( ٥س + ٢ )٢ = ( ٥س + ٢ ) ( ٥س + ٢ )
= ٢٥س٢+ ١٠س + ١٠س + ٤
= ٢٥س٢ + ٢٠س + ٤
خاصية التوزيع مع الكسور
حل المعادلات الرياضية ذات الكسور تعتبر أكثر تعقيدا من غيرها ، وتعتبر خاصية التوزيع من الطرق البسيطة لحل مسائل الكسور :
- نحول الكسور إلي أعداد صحيح باستخدام خاصية التوزيع .
- نحصل علي المضاعف المشتركة الأصغر للكسور .
- نقوم بضرب حدود المعادلة في مضاعف المشترك الأصغر .
- نضيف أرقام متشابهة على جانبي علامة التساوي من أجل فصل المتغيرات .
- نقوم بجمع النواتج .
- نبسط ، ونحصل على النتيجة .
س – ٤ = س/٤ + ١/٨
٨ ( س – ٤ ) = ٨ ( س/٤ + ١/٨ )
٨س – ٣٢ = ٨س/٤ +٨/٨
٨س – ٣٢ = ٢س +١
٨س – ٣٢ + ٣٢ – ٢س = ٢س + ١ + ٣٢ – ٢س
٨س – ٢س = ١ + ٣٢
٦س = ٣٣
س = ٣٣/٦ = ١١/٢
هل تنطبق خاصية التوزيع للقسمة
لا تنطبق الخاصية التوزيع على القسمة كما تنطبق على عمليات الضرب وبكن يمكن استخدام الفكرة في القسمة ، حيث يمكن استخدام التوزيع في القسمة لتسهيل مسائل الرياضية الخاصة بالقسمة .
وذلك عن طريق تقسيم أو توزيع البسط إلى كميات أصغر لتسهيل حل مسائل القسمة ، كما في المثال بدلا من محاولة حلها 125\5 .
من خلال قانون التوزيع تستطيع تبسيط البسط وتحويل هذه المسألة الواحدة إلى ثلاث مسائل قسمة أصغر وأسهل يمكنك حلها بسهولة أكبر كما هو موضح .
50\5 + 50\5 + 50\5
امثلة على خواص التوزيع
-
مثال١
:
باستخدام خاصية التوزيع و
جدول الضرب كامل
أوجد حل المعادلة الآتية :
٩ ( س – ٥ ) ٨١
الحل :
نقوم بضرب الرقم خارج الأقواس في الأرقام الداخلية ، ونقوم بترتيب الأرقام على جانبي علامة التساوي ، كي نحصل على ناتج المعادلة .
٩ ( س ) – ٩ ( س ) =٨١
٩س – ٤٥ = ٨١
٩س – ٤٥ + ٤٥ = ٨١ + ٤٥
٩س = ١٢٦
س = ١٢٦/٩
س = ١٤
-
مثال٢ :
حل المعادلة التالية باستخدام خاصية التوزيع ( ٧س + ٤ )٢
نقوم أ ولا بتوسيع المعادلة ، كي نحصل على جميع النواتج ، ثم نضيف الأرقام والنواتج المتشابهة .
( ٤ + ٧س )٢
( ٤ + ٧س ) ( ٤ + ٧س ) = ( ٤ + ٧س )٢
( ٤ + ٧س ) ( ٧س + ٤ ) = ٤٩س٢ + ٢٨س + ٢٨س + ١٦
٤٩س٢ + ٥٦س + ١٦
-
مثال٣
أوجد حل المعادلة الآتية باستخدام
خصائص عملية الضرب
وخاصية التوزيع س
– ٥ = س/٥ + ١/١٠
نقوم أولا بتحديد الكسور ،ثم نحصل على العامل المشترك الأصغر للأعداد ٥ و١٠ ، وهو الرقم ١٠ ، ثم نقوم بضرب العامل المشترك الأصغر في كلا الجانبين من علامة يساوي ، ثم نقوم بالتبسيط ، وفي النهاية نقوم بفصل المصطلحات ذات الثوابت ، وذات المتغيرات .
س – ٥ = س/٥ + ١/١٠
١٠ ( س – ٥ ) = ١٠ ( س/٥ + ١/١٠ )
١٠س – ٥٠ = ٢س + ١
١٠س – ٢س = ١ + ٥٠
٨س = ٥٠
س = ٥١/٨