تعريف دوال كثيرات الحدود وخصائصها
تعريف الدالة كثيرة الحدود
عند عمل
بحث عن كثيرات الحدود
نجدها تعبيرات جبرية يتم إنشاؤها بواسطة إضافة أو طرح المصطلحات أحادية الحدود، أو أكثر من المعاملات والمتغيرات، مثل 3x^2 ، حيث أنه تعتبر الأسس أعداد صحيحة فقط، فالدالات هي نوع معين من العلاقات يكون لكل قيمة إدخال فيها قيمة إخراج واحدة فقط، وتشتمل على مصطلحين جبريين أو أكثر، ويكون دائماً مجموع المصطلحات التي تكون ذات قوى مختلفة الأس للمتغيرات، وتستخدم
دوال كثيرات الحدود في حياتنا
بشكل كبير.[1]
تُبنى كثيرات الحدود عن طريق عمليات الطرح والضرب والجمع، بالإضافة إلى الأسس الصحيحة غير السالبة، مثلاً x
2
-4x+7 تعتبر متعددة الحدود ونطلق عليها اسم الدالة التربيعية، بينما x
2
-4/x+7x
3/2
فهذه الدالة ليست متعددة الحدود لأن الحد الثاني يتضمن قسمة على المتغير x، ولوجود حد يحتوي على أس ليس بعدد صحيح وهو 3/2.
فنستنتج أن كثيرة الحدود هي دالة أو تركيب جبري رياضي بسيط، فهو لا يحوي على عمليات سوى الضرب والجمع، وقابل للمفاوضة بلا نهاية، بالإضافة إلى احتوائه على مشتقات من جميع الرتب في النقاط جميعها.
الخصائص العامة لكثيرات الحدود
- المتغير الأحادي هو تعبير عن النموذج ، حيث يكون عددًا صحيحًا ثابتًا و أيضاً يكون غير سالب، و ثابت و يمكن أن يكون على سبيل المثال عدد صحيح أو منطقي أو حقيقي أو معقد.
- كثير الحدود هو مجموع عدد كبير جدًا من monomials، بمعنى آخر إنه تعبير عن النموذج فإذا كان اثنان أو ثلاثة فقط من المجموعات غير صفرية ، فيُقال إنها ذات الحدين والثلاثية حدود، على التوالي.
- الثوابت هي معاملات كثيرة الحدود، يُشار إلى مجموعة كثيرات الحدود مع المعاملات في المجموعة، فمثلاً يمكننا القول، هي مجموعة متعددة الحدود ذات المعاملات الحقيقية.
-
يُطلق على الأس درجة كثيرة الحدود ويُرمز إليها على وجه الخصوص، تُسمى كثيرات الحدود من الدرجة الأولى والثانية والثالثة الخطية والتربيعية والمكعبية، فإن كثير الحدود الثابت الغير الصفري له درجة 0 ، بينما يتم تعيين كثير الحدود الصفري الدرجة لأسباب أخرى. مثال f (x)=x
3
(x+1)+x، g(x)=2x
4
-x
3
-2x
2
+1 فهذا المثال يعتبر كثير الحدود مع معاملات عدد صحيح من الدرجة 4، أما f(x)=0x
2
-2
1/2
+3 فهو كثير حدود خطي مع معاملات حقيقية. - يمكن إضافة أو طرح أو ضرب أي اثنين من كثيرات الحدود ، وستكون النتيجة كثيرة الحدود.[2]
جذور التوابع كثيرة الحدود
نتذكر أنه عندما يكون x-a) (x-b)=0) ، نعلم أن a ، b, هما جذرا للدالة، (f(x)=(x-a) (x-b ولكننا الآن يمكننا استخدام العكس، والقول أنه إذا كان a و b جذور، فيجب أن تكون وظيفة كثير الحدود مع هذه الجذور هي المعادلة (f (x) = (x – a) (x – b ، أو مضاعف لها.
أمثلة على جذور التوابع كثيرة الحدود
مثال1:
إذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور x = 3 و x = −2.
- فيجب أن تكون الدالة (f(x)=(x-3) (x+2
- أو مضاعف ثابت لها، و يمكن أن يمتد هذا إلى كثيرات الحدود من أي درجة كانت، على سبيل المثال، إذا كانت جذور كثير الحدود هي x = 1 ، x = 2 ، x = 3 ، x = 4 ، فإن الدالة يجب أن تكون: (f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4 أو مضاعف ثابت .
-
دعونا نتأمل أيضاً هذه المعادلة f (x) = (x – 2)
2
يمكننا أن نرى على الفور أن x – 2 = 0 ، بحيث x = 2، فإن لهذه الدالة جذر واحد فقط هذا ما نسميه الجذر المتكرر، ويمكن تكرار الجذر بأي عدد من المرات.
مثال2:
f (x) = (x – 2)
3
(x+4).
- فنجد أن لها جذر متكرر x = 2 وجذر آخر متكرر x = −4، و نقول أن جذر x = 2 له تعدد 3 ،وأن الجذر x = -4 له تعدد 4.
- الشيء المفيد في معرفة تعدد الجذر هو أنه يساعدنا في رسم الرسم البياني للدالة فإذا كان تعدد الجذر غريبًا، فإن الرسم البياني يقطع المحور x عند النقطة (x,0)، ولكن إذا كانت التعددية متساوية، فحينئذٍ يلامس الرسم البياني المحور x عند زاوية النقطة(x,0).
مثال3:
فإن الدالة: f(x)= (x-3)
2
(x+1)
5
(x-2)
3
(x+2)
4
- الجذر x = 3 له تعدد 2 ، لذا فإن الرسم البياني يلامس المحور x عند (3,0)
- الجذر x = 1 له تعدد 5 ، لذا فإن الرسم البياني يقطع المحور x عند (1,0)
- الجذر x = 2 له تعدد 3 ، لذا يتقاطع الرسم البياني مع المحور x عند (2,0)
- الجذر x = −2 له تعدد 4 ، لذا فإن الرسم البياني يلامس المحور x عند (-2,0)
مثال4:
افترض أن لدينا الدالة (f(x)=(x-2)
2
(x+1
-
نستطيع أن نرى أن أكبر قوة لـ x هي 3، وبالتالي فإن الدالة تكعيبية، وكمعامل x
3
موجب يجب أن يزيد المنحنى بشكل عام إلى اليمين والنقصان إلى اليسار. - يمكننا أيضًا ملاحظة أن جذري الدالة هما x = 2 و x = -1، فإن جذر x = 2 له تعدد وبالتالي فإن المنحنى يلامس فقط المحور x هنا، بينما x = −1 لها تعدد فردي ولذا هنا يتقاطع المنحنى مع المحور x فهذه هي الخطوات لرسم ومعرفة الرسم البياني باستخدام الدالات.[3]
تحليل كثيرات الحدود
-
نستطيع تحليل دوال كثيرات الحدود عن طريق أخذ العامل المشترك فمثلاً، 15x
3
+5x
2
+25x فنلاحظ هنا أن العامل المشترك الأكبر يكون 5x، ولهذ تقسم الحدود جميعها على هذا المقدار، فيصبح الناتج كالتالي 3x
2
+x+5. -
ويمكن تحليل أيضاً كثيرات الحدود عن طريق استخدام الفرق بين مربعين، حيث نكتب العبارة التربيعية بصورة أس ax
2
+bx+c بحيث أن a لا تساوي الصفر، ومنه إذا كانت a =1 وكان هناك عبارة تربيعية x
2
+bx+c فإنه عندما نحللها إلى عواملها يكون الناتج (x
2
+bx+c=(x-d)(x-h بحيث d+h=b & d.h=c. - وأيضاً نستطيع تحليل كثيرات الحدود باستخدام عملية التجميع، فنستخدمها عندما لا يتواجد عامل مشترك بين الحدود جميعها، فقط يكون هناك عامل مشترك بين فقط حدين أو أكثر ولكن ليست كلها، لهذا نعمل على تجميع الحدود التي تحتوي العامل المشترك ونأخذ العامل المشترك بنفس الطريقة.
تصنيف كثيرات الحدود من حيث الدرجة
يتم تصنيف كثيرات الحدود بالنظر إلى قيمة الأس في المتغير فهذا التصنيف يكون حسب الدرجة، وممكن أيضاً تصنيفه عن طريق مجموع قيم أسس المتغيرات التي تكونه بشرط أن يكون هناك أكثر من متغير واحد.
في حال إذا وضعنا f(x)=ax
0
بحيث a لا تساوي الصفر فتسمى الدالة الثابتة، أما عندما يكون 0a= الصفر نسمي هذه الدالة بالدالة الصفرية، وفي حالةa=1 نسميها كثيرة الحدود الواحدية.
أما دوال كثيرات الحدود بالنسبة لدرجتها فالدرجة الأولى تسمى بالدوال الخطية، أما الدرجة الثانية فتسمى بالدوال التربيعية، وعندما تكون كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة نسميها بالدوال التكعيبية.
الشرط العددي لكثيرات الحدود
تشتهر أصفار كثيرات الحدود ذات الدرجة العالية بأنها حساسة للتغيرات في المعامِلات، مما يتسبب في حدوث مشكلات لبرامج البحث الصفرية المتاحة، فيجب أن نعتمد على تمثيل كثير الحدود لحل هذه المشكلة، نقوم أولاً بتوسيع التوصيف الجبري لمجموعات الأصفار الزائفة متعددة الحدود من أساس القوة إلى القواعد العامة، ثم نوضح أنه بالنسبة إلى كثير الحدود، ترتبط الشروط العددية لقيمها وأصفارها ارتباطًا وثيقًا، و تكشف قواعد Taylor و Chebyshev و Bernstein أن التمثيل المناسب لكثيرات الحدود يؤدي إلى ظهور أصفار محلية جيدة التكييف، مما يؤدي بعد ذلك إلى خوارزمية صقل متكررة تجمع بين الصياغة الرمزية والأرقام المعالجة لتقليل الأخطاء الحسابية للأصفار كثيرة الحدود الموجودة.[4]