حساب

التفاضل والتكامل

الأساسي هو دراسة تعتمد على فكرة الحدود والوظائف، وهناك بعض المفاهيم مثل الاستمرارية، الأسس، والتي تعتبر أساس حساب التفاضل والتكامل المتقدم.

يساعد حساب التفاضل في العثور على معدل التغير في الكمية؛ بينما يساعد حساب التكامل في العثور على الكمية عندما يكون معدل التغيير معروفًا.

تعريف التكامل

التكامل

هو العملية العكسية للتفاضل، بحيث تستخدم التكاملات في الرياضيات؛ لإيجاد العديد من الكميات المفيدة مثل: المساحات، والأحجام، والإزاحة ، وما إلى ذلك.

عندما نتحدث عن التكاملات ، فإنها ترتبط عادةً بالتكاملات المحددة؛ بحيث تستخدم التكاملات غير المحددة للمشتقات العكسية.

التكامل هو أحد موضوعي التفاضل والتكامل الرئيسيين في الرياضيات، بصرف النظر عن التفاضل (الذي يقيس معدل تغير أي دالة فيما يتعلق بمتغيراتها).

يمكن التعبير عن التكامل لأي دالة؛ إما على أنّه حد المجموع، أو إذا كان هناك مضاد مشتق F للفاصل [أ ، ب]، فإن التكامل المحدد للوظيفة هو اختلاف القيم عند النقاط أ و ب. [1]

مفهوم التكامل

افترض أن صديقك أعطاك عصا خشبية، ويطلب منك كسرها، هل تستطيع فعل ذلك؟ نعم، سيكون من السهل عليك القيام بذلك.

لكن ماذا سيحدث إذا أعطاك خمسة إلى ستة أعواد لتكسرها؟، لن يكون من السهل كسرها.

كلما زاد عدد العصي، يصعب كسرها، فعملية توحيد الأشياء هي تكامل للأشياء؛ وبالمثل في الرياضيات أيضًا، لدينا تكامل وظيفتين.

إنّ علم التفاضل والتكامل هو عمليتين عكسيتين؛ حيث أنّ في التفاضل يتم دراسة أنه إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق في فترة ما، على سبيل المثال ن ، فإننا نحصل على مجموعة من مجموعة قيم الوظائف في تلك الفترة.

هل هناك أي طريقة يمكننا من خلالها التعرف على الوظيفة إذا كانت قيم الدالة ضمن فترة ما معروفة؟

هذه العملية هي عكس إيجاد المشتق، والتكاملات هي المشتقات المضادة، التكاملات هي طريقة جمع الأجزاء لإيجاد الكل. التكامل هو البيتزا بأكملها، والشرائح هي وظائف قابلة للتفاضل يمكن دمجها.

إذا كانت f (x) أي دالة و f (x) هي مشتقاتها. يتم إعطاء تكامل f ′ (x) بالنسبة إلى dx على النحو التالي:

∫ و ′ (س) دس = و (س) + ج

أصول حساب التفاضل والتكامل

الشخص الذي قد يكون لعب دورًا مهمًا في تعريف نيوتن بمفاهيم التفاضل والتكامل هو عالم الرياضيات الإنجليزي إسحاق بارو (1630-77).

كان أستاذًا للرياضيات في كامبريدج من عام 1663 حتى عام 1669، وخلفه نيوتن في منصب الأستاذية، وكان بارو في الأساس مقياسًا جغرافيًا يتبع تقاليد الإغريق القدماء.

ومع ذلك، في حوالي عام 1664، أصبح مهتمًا بمشكلة العثور على مماسات المنحنيات، وقام بتطوير نهج يتضمن تحريك النقاط والخطوط.

في محاضراته الجامعية في كامبريدج، والتي تم نشرها لاحقًا، قدم تعميمه الخاص لإجراءات الظل والمساحة بناءً على قراءته المكثفة لأعمال علماء الرياضيات المعاصرين البارزين مثل ديكارت، واليس، وفيرمات، وخاصة عالم الرياضيات الاسكتلندي جيمس غريغوري، الذي يعتبر رائدًا مهمًا لنيوتن.

احتوت المحاضرات على أفكار كان من الممكن استغلالها ولكن ربما لم يتم دراستها خارج كامبريدج.

لقد كانت مسألة تخمين ما إذا كان نيوتن بأي حال من الأحوال تلميذ بارو، كان يُفترض دائمًا أنه تأثر ببارو، حيث كان يعمل في كامبريدج في وقت محاضرات بارو حول مشاكل المنطقة والظل.

علاوة على ذلك، فإن أول تقدم كبير لنيوتن في أسس حساب التفاضل والتكامل يعود إلى 1664-65، وهو الوقت الذي درس فيه بارو لأول مرة المشكلات التي تكمن وراء حساب التفاضل والتكامل.

من الواضح أن فكرة بارو لتوليد المنحنيات بحركة النقاط كانت مهمة لتأسيس نيوتن لحساب التفاضل، لكن نيوتن نفى بشكل عام أي تأثير مباشر من بارو.

أعلن نيوتن في وقت لاحق أن حادثة سقوط التفاحة، والتي قيل إنها سببت فكرة الجاذبية، حدثت في منزله في لينكولنشاير.

درس نيوتن بشكل خاص كتاب ديكارت، والذي أثر بقوة على عمله في الهندسة التحليلية والجبر، وعلى حساب التفاضل والتكامل .

في شتاء عامي 1664 و 1665 بعد قراءة Arithmetica Infinitorum للدكتور واليس ومحاولة استقراء تقدمه لتربيع الدائرة ، اكتشفت سلسلة لانهائية أخرى لتربيع الدائرة ثم سلسلة أخرى لتربيع القطع الزائد، وتربيع الدائرة هو إيجاد مساحة الدائرة، أو فعليًا حساب التكامل . [2]

أنواع التكامل

هناك نوعان من أشكال التكاملات، وهما:

التكاملات غير المحدودة

هي جزء لا يتجزأ من وظيفة عندما لا يوجد حد للتكامل، أي أن الفترة مفتوحة في هذه العملية، وفي هذا النوع بالتحديد من التكاملات، بعكس التكامل المحدود، وكذلك ما يميزها هو وجود ثابت في العملية.

التكاملات المحدودة

تكامل دالة ذات حدود تكامل، فيكون هناك قيمتان كحدود لفترة التكامل، أحدهما هو الحد الأدنى، والآخر هو الحد الأعلى، ولا يحتوي على أي ثابت للتكامل، كما التكامل غير المحدود. [1]

تطبيقات التفاضل والتكامل

حساب التفاضل والتكامل هو نموذج رياضي، يساعدنا في تحليل النظام لإيجاد الحل الأمثل للتنبؤ بالمستقبل ، في الحياة الواقعية، تلعب مفاهيم حساب التفاضل والتكامل دورًا رئيسيًا في كثير من جوانب الحياة مثل:

حل منطقة الأشكال المعقدة.
سلامة المركبات.
تقييم بيانات المسح لتخطيط الأعمال.
سجلات الدفع ببطاقات الائتمان.
معرفة كيفية تأثير الظروف المتغيرة للنظام.

حساب التفاضل والتكامل هي لغة الأطباء والاقتصاديين وعلماء الأحياء والمهندسين المعماريين والخبراء الطبيين والإحصائيين وغالبًا ما يستخدمونها.

على سبيل المثال، يستخدم المهندسون المعماريون، والمهندسون مفاهيم حساب التفاضل والتكامل؛ لتحديد حجم، وشكل المنحنيات لتصميم الجسور والطرق والأنفاق وما إلى ذلك.

وباستخدام حساب التفاضل والتكامل، تم تصميم بعض المفاهيم بشكل جميل مثل معدلات الولادة، والوفاة، والانحلال الإشعاعي، ومعدلات التفاعل، والحرارة، والضوء والحركة والكهرباء وما إلى ذلك. [3]

ثابت التكامل

يعبر ثابت التكامل بالنسبة لمشتق معين، يمكن أن توجد العديد من التكاملات التي قد تختلف من خلال مجموعة من الأرقام الحقيقية. يتم تمثيل هذه المجموعة من الأعداد الحقيقية بالثابت.

نظرًا لأن مشتق الثابت هو صفر، يمكن إضافة أي ثابت إلى تكامل غير محدد (أي مشتق عكسي)، وسيظل متوافقًا مع نفس التكامل.

هناك طريقة أخرى لتوضيح ذلك وهي أن المشتق العكسي هو معكوس غير فريد للمشتق؛ لهذا السبب، غالبًا ما تتم كتابة التكاملات غير المحدودة في النموذج

intf (x) dx = F (x) + C

حيث C ثابت يعرف بثابت التكامل. [4]

التفاضل والتكامل

حساب التفاضل والتكامل، وهو فرع من فروع الرياضيات، طوره نيوتن ولايبنيز، ويتعامل مع دراسة معدل التغيير.

يستخدم حساب التفاضل والتكامل الرياضيات بشكل عام في النماذج الرياضية؛ للحصول على الحلول المثلى، ويساعدنا على فهم التغييرات بين القيم المرتبطة بوظيفة.

ركزت الرياضيات في حساب التفاضل والتكامل بشكل أساسي على بعض الموضوعات المهمة مثل التفاضل والتكامل والحدود والوظائف وما إلى ذلك.

يتم تصنيف رياضيات التفاضل والتكامل على نطاق واسع إلى قسمين مختلفين مثل:

حساب التفاضل .
حساب التكامل .

يتعامل كل من حساب التفاضل والتكامل التفاضلي مع التأثير على دالة التغيير الطفيف في المتغير المستقل؛ لأنه يؤدي إلى الصفر.

يعمل كل من حساب التفاضل والتكامل التفاضلي كأساس لفرع الرياضيات الأعلى المعروف باسم “التحليل”، ولعب رياضيات التفاضل والتكامل دورًا حيويًا في الفيزياء الحديثة، وكذلك في العلوم والتكنولوجيا. [3]