ترتيب العمليات الحسابية
عندما نجري عملية حسابية بسيطة تحتوي على رقمين ، وعملية واحدة ، أو علامة واحدة ، فمن السهل معرفة كيفية حساب الإجابة . إما أن تضيف ، أو تطرح ، أو تضرب ، أو تقسم . ولكن ماذا عندما يكون هناك عدة أرقام ، وعمليات مختلفة ؟ ربما تحتاج إلى القسمة والضرب ، أو الإضافة والطرح . ماذا تفعل بعد ذلك ؟ سنجيب على كل هذا في الأسطر التالية ، فقط تابع القراءة .
لحسن الحظ ، الرياضيات هي نظام قائم على المنطق . فكما هو الحال في كثير من الأحيان ، هناك بعض القواعد البسيطة التي يجب اتباعها ، والتي تساعدك على تحديد الترتيب الصحيح للخروج بالنتيجة السليمة ، وهو ما يعرف بـ “ترتيب العمليات الحسابية” .
كيف نستخدم ترتيب العمليات الحسابية
(
PEMDAS)
؟
دعنا نقول أنه تم إعطاؤك هذا السؤال البسيط : 5 + 3 × 4 . كيف يمكنك أن تحل هذه المسألة ؟ هل تضيف أولًا ثم تضرب ، أم تضرب أولًا ثم تضيف للحصول على الإجابة ؟ دعونا نجرب في كلا الاتجاهين ونرى ما نحصل عليه .
سؤال :
5 + 3 × 4
الحل الأول :
(5 + 3) × 4 = 32
الحل الثاني :
5 + (3 × 4) = 17
أي من هذه الحلول صحيحة ؟ يعتمد الأمر بالكامل على كيفية نظر الشخص إلى المشكلة . ومع ذلك ، فإن هذه الحرية ستهز المبدأ الأساسي للرياضيات حيث سننتهي بإجابات متعددة . لذلك ، لمنع أي تشويش ، توجد قواعد ثابتة في الموضوع تعود إلى القرن الخامس عشر ، والمعروفة باسم “ترتيب العمليات” ، وهي عمليات الضرب ، والجمع ، والطرح ، والقسمة ، وغير ذلك من تربيع ، وجذر تكعيبي، والعمليات الحسابية الأخرى .
ما هي قاعدة ترتيب العمليات الحسابية ؟
- هناك مجموعة متعددة من القواعد ، واحدة من أكثرها شيوعًا هي هذه القاعدة التي نتحدث عنها اليوم ، وهي التي تحدد العمليات التي يجب حلها أولًا .
- تنص هذه القاعدة على أن الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية هو : ما بين القوسين ، ثم الأس ، ثم الضرب والقسمة ، ثم الجمع والطرح .
- يجب على المرء أن يتذكر أن الأقواس ستفوق الأسس ، وبالمثل فإن الأسس تفوق الضرب والقسمة ، وفي النهاية يأتي الجمع والطرح .
- إذا كان هناك جذور تربيعية ، فيجب إجراؤها بعد تبسيط الأقواس ، وقبل القسمة ، والضرب ، والطرح ، والجمع .
- لاحظ أنك تحسب من العمليات الأكثر تعقيدًا إلى العمليات الأكثر سلاسة وأساسية. فالجمع والطرح هي أبسط العمليات .
- غالبًا ما يعتقد أن الضرب والقسمة أكثر تعقيدًا، لذا يأتيان قبل الجمع والطرح في ترتيب العمليات .
- الأسس والجذور التربيعية هي الضرب والقسمة المتكررة ، ولأنها أكثر تعقيدًا ، يتم إجراؤها قبل الضرب والقسمة .
الآن وقد أصبح المفهوم واضحًا ، فلنلقِ نظرة على السؤال السابق ، ونرى ما إذا كان الحل الأول أو الحل الثاني هو الصحيح ؟
باتباع قاعدة ترتيب العمليات الحسابية ، فإن الحل الثاني هو الحل الصحيح ، حيث يتعين على المرء أولًا تبسيط الضرب ثم يقوم بالجمع .
ترتيب العمليات الحسابية الصحيح
ما نستنتجه مما سبق إن الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية التي تحتوي على أكثر من عملية أو أكثر من علامة هو :
- الأقواس (نقوم بتبسيط ما بداخلها)
- الأس
- الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين بالإنجليزية أو من اليمين إلى اليسار بالعربية)
- الجمع والطرح (من اليسار إلى اليمين بالإنجليزية أو من اليمين إلى اليسار بالعربية)
أمثلة على الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية
أولًا : في حالة كان هناك المزيد من العمليات من نفس الرتبة ، على سبيل المثال : الضرب والقسمة .
السؤال الأول :
5 × 4 ÷ 20
الحل : وفقًا للقاعدة ، عندما يكون هناك عمليات متعددة من نفس الرتبة ، يجب أن يعمل الشخص من اليسار إلى اليمين ، حسب اللغة التي تكتب بها العملية .
إذًا الجواب على الحل هو :
(20 ÷ 4) × 5 = 25
ليس :
20 ÷ (4×5) = 1
السؤال الثاني :
5 + 5^2
الحل : لحل المسألة السابقة ، يجب على الطلاب أولًا تبسيط الأس ثم الإضافة .
5 + 25 = 30
السؤال الثالث :
5 +2^(4 + 1)
الحل : الآن ، في هذه المعادلة ، يجب على المرء أولًا تبسيط الأقواس قبل محاولة حل الأس ثم القيام بالإضافة فقط .
5 + (4 + 1)^ 2 = 5 + (5)^2 = 5 +25 = 30
السؤال الرابع
:
5 + [–1 (–4 – 1)]^2
الحل : قد يؤدي تبسيط الأقواس من اليسار إلى اليمين إلى حدوث أخطاء ، وبالتالي من الأفضل حلها من الداخل إلى الخارج . لذلك ، سوف نقوم بحل الأقواس المنحنية أولًا ثم الأقواس المربعة ثم بقية التعبير فقط .
5 + [–1 (–4 – 1)] 2 = 5 + [–1 (–5)]^2
= 5 + [5]^2
= 5 + 25
= 30
يتم استخدام الأقواس المربعة فقط لتسهيل فهم رمز التجميع المستخدم . وعادةً ما تستخدم الأقواس المعقوفة والأقواس المتعرجة ، عندما يكون هناك عدة أقواس متداخلة .
السؤال الخامس
:
5-4 [5-3 (8-4)] ÷ 2
الحل : لتبسيط التعبير أعلاه ، يجب علينا كذلك حل المعادلة من الداخل إلى الخارج ، وذلك باتباع الترتيب التالي : الأقواس المنحنية ، ثم الأقواس المربعة ، ثم القسمة ، ثم الطرح . ويجب أن نتذكر دائمًا أن نبدأ بتبسيط الأقواس ، ثم نقوم بالتقسيم والإضافة أو الطرح .
5-4 [5-3 (8-4)] ÷ 2
= 5-4 [5-3 (4)] ÷ 2
= 5-4 [5-12] ÷ 2
= 5-4 [-7] ÷ 2
= 5 + 28 ÷ 2
= 5 + 14
= 19
وإذا نظرت عن قرب إلى نهاية الحل ، فإن القسمة تأتي قبل الإضافة ، وبالتالي فهي مبسطة 5 + 14 وليست 33 ÷ 2 .
وإذا لم تكن متأكدًا من الترتيب الصحيح للتسلسل الهرمي ، فمن الأفضل حل السؤال على آلة حاسبة ورؤية الإجابة . حيث تتم برمجة معظم الآلات الحاسبة مع ترتيب العمليات هذا ، بشرط ألا تكون الآلة بدائية وبسيطة .
مصطلح ترتيب العمليات الحسابية بالإنجليزية
قد تجد أي من الاختصارين BODMAS أو PEMDAS يشير إلى الآلية التي نتحدث عنها عند ترتيب العمليات الحسابية ، والفرق الوحيد بين اللفظين هو ، أن BODMAS يستخدمه متحدثو الإنجليزية البريطانية ، بينما PEMDAS يستخدمه متحدثو الإنجليزية الأمريكية ، وكليهما اختصار لأول حرف من كل من العمليات الحسابية .
- Brackets الأقواس
- Orders\ Indices الأوامر أو الإشارات
- Division or Multiplication القسمة والضرب
- Addition or Subtraction الجمع والطرح [1]
أهمية عملية ترتيب العمليات الحسابية
- بدون هذا الترتيب ، لن يوجد إرشادات محددة للحصول على إجابة واحدة صحيحة فقط .
- كمثال بسيط للغاية ، لحساب ناتج 2 * 4 + 7 ، يمكن لشخص تنفيذ الضرب أولًا ، ثم الإضافة ، ليحصل على الناتج 15 .
- يمكن لشخص آخر إجراء الإضافة أولًا ، ثم الضرب ، والحصول على ناتج 22 .
- كان لا بد من وجود قاعدة متعارف عليها تحدد الطريقة السليمة لإجراء العمليات الحسابية ، لتحسم الأمر بأن ناتج 15 هو الصحيح .
- يمكن استخدام ترتيب العمليات لتبسيط جميع الإشارات ، بما في ذلك تلك الأقواس .
- يمكن استخدام ترتيب العمليات لتبسيط المعادلات التي تحتوي على الأسس والجذور التربيعية .
- يمنحنا ترتيب العمليات تسلسلًا ثابتًا لاستخدامه في الحساب .
- بدون ترتيب العمليات ، سوف تتوصل إلى إجابات مختلفة لنفس المعادلة الحسابية .
- بعض الآلات الحاسبة القديمة ، لا تستخدم ترتيب العمليات هذا . لذا يتعين على المرء أن يكون على علم به ليقوم بإدخال الأرقام بالطريقة الصحيحة .
وأخيرًا ، تذكر إن الرياضيات ممتعة ، لكن معظمنا يدرس رياضيات الكتب المدرسية المملة ، بينما يكون الموضوع أكثر إثارة للاهتمام إذا تعلم المرء ذلك بأمثلة وألغاز وألعاب ، لأن عالم الأرقام والحسابات والصيغ مفيد في كل جانب من جوانب الحياة . [2]