شكل المثلث يعد من أهم الأشكال الهندسية المغلقة، ويتكون من ثلاث رؤوس مكونة ثلاث زوايا من الممكن أن تكون متشابهة في بعض الأوقات، وعند جمع هذه الزوايا الداخلية فإن مجموعها يكون 180 درجة، فالمثلثات أكثر من نوع وهي مختلفة في قياسات الزوايا والأضلاع، وبسبب أهمية المثلثات تم إطلاق علم من أكبر علوم الرياضيات لدراستهم بشكل مفصل وهو علم المثلثات.

تعريف المثلث

يعد المثلث من أهم الأشكال الهندسية المغلقة حيث يتكون من ثلاث رؤوس تتصل بخطوط مستقيمة تسمى بالأضلاع أو الأطراف، وبالتالي فهذه المثلثات هي ثلاث زوايا داخلية إذا جمعنا قياساتهم تصل إلى 180 درجة.

المثلثات أنواع مختلفة تختلف من حيث القياسات والزوايا، وتختلف في أطوال الأضلاع، وحتى يتم قياس الزوايا المجهولة في المثلثات، لابد أن نتعرف أولاً على نوع المثلثات وما هي النسب المثلثية وما هي العلاقة بينهم.

قانون النسب المثلثية

تعد قوانين النسب المثلثية من أهم وأشهر القوانين التي يتم استخدامها في فرع حساب المثلثات وفي التطبيقات الفيزيائية، ومن أهم الأمثلة عليها قنون الانكسار والانعكاس وتحليل القوي وغيرها من التطبيقات الهامة للغاية التي يتم استخدام قوانين وتطبيقات النسب المثلثية فيها، ومن أشهر وأهم قوانين النسب المثلثية:

قوانين النسب المثلثية للمثلث القائم الزاوية

جا α = المقابل / الوتر
جتا α = المجاور / الوتر
ظا α = المقابل / المجاور

متطابقات وقوانين النسب المثلثية العامة

جا (α – β) = (جا α جتا β)–(جتا α جا β)
جتا (α – β) = (جتا α جتا β)–(جا α جا β)
ظا (α – β) = (ظاα – ظاβ) مقسومة على (1+ظاα ظاβ)
مربع (جا α) + مربع (جتا α) تساوي 1

قوانين النسب المثلثية للفرق بين زاويتين أو الجمع بينهم

جا(ب + جـ) = جا (ب) جتا (جـ) + جا (ب) جا (جـ)
جا(ب – جـ ) = جا (ب) جتا (جـ) – جتا (ب) جا (جـ)
جتا (ب + جـ) = جتا (ب) جتا (جـ) – جا (ب) جا (جـ)
جتا (ب – جـ) = جتا (ب) جتا (جـ) + جا (ب) جا (جـ)
ظا (ب + جـ) = (ظا (ب) + ظا (جـ)) / (1- ظا(ب) ظا(جـ))
ظا (ب – جـ) = (ظا (ب) – ظا (جـ)) / (1+ ظا (ب) ظا (جـ))

القانون العام للمثلثات وقانون فيثاغورس

يعد قانون فيثاغورس من الحالات الخاصة في القانون العام للمثلثات، والذي يعرف (بقانون جيث التمام) حيث تم استخدام قانون فيثاغورس فقط على المثلثات ذات الزاوية القائمة ولكن القانون العام يتم استخدامه على جميع المثلثات.

هناك الكثير من التطبيقات والمجالات العلمية وعملية التي يتم استخدام فيثاغورس فيها مع القانون العام، ومن هذه التطبيقات إمكانية إيجاد محصلة القوى التي تؤثر على جسم معين، وكذلك يقوم باستخدامه الحرفيين في عمليات تصنيع بعض الأدوات وفي عمليات بناء المنازل.

يقوم قانون فيثاغورس والقانون العام على فكرة التوصل إلى قيمة أطول أضلاع المثلث، وهذا الأمر يتم عن طريق العلاقات الآتية:

-لنفترض مثلاً أن لدينا مثلث من ثلاث أضلاع هم (س، ص، ع) والزاوية المحصورة بين الضلعين (س) و(ص) تساوي β، فهذا يعني أن مقدار ضلع المثلث (ع) يتم حسابه من خلال القانون التالي: مربع(ع)=مربع (س) + مربع (ص) – (2 س ص جتا β).

-في حالة βتساوي 90 درجة فهذا يعني أن الجيب التمام يساوي صفر، وهنا نحصل على قانون فيثاغورس للمثلث القائم كالاتي: مربع (ع) = مربع (س) + مربع(ص)، حيث أن الضلع ع يعبر عن أطول أضلاع المثلث.

أنواع المثلثات

يتم تقسيم أنواع المثلثات على أساسين وهم الزوايا والأضلاع، فهناك مثلاً، المثلث قائم الزاوية، وهناك المثلث حاد الزوايا، والمثلث المنفرج الزاوية، أما بالنسبة للأضلاع، فهناك المثلث المتساوي الطرفين (الضلعين)، والمثلث المتساوي الأطراف (الأضلاع)، والمثلث المختلف الأطراف.