طرق حل معادلات الدرجة الأولى بمجهول واحد

المعادلة

عبارة عن تركيبة جبرية تتكون من مجهول واحد أو أكثر و مقادير ثابتة و علامة المساواة، و

المعادلة

يمكن تشبيهها بالميزان الذي يحتوي على كتلتين، واحدة معلومة والأخرى تكون مجهولة و هو يكون في حالة توازن، المعادلة التي من الدرجة الأولى و التي بمجهول واحد و هي في حالة تساوي، تحتوي على طريقين واحد أيمن و الآخر أيسر.

حَل المعادلة معناه إيجاد قيم المجهول التي تحقق المعادلة. أي القيم التي إذا عوضنا بها في المعادلة لوجدنا أن الطرف الأيمن سيساوي الطرف الأيسر.

و المعادلة التي تكون متساوية من النوع ax + b = 0 تسمى معادلة من الدرجة الأولى و تكون بمجهول واحد، كما تسمى أيضا بمعادلة الخطوتين لأن في حلها تعتمد على خطوتين.

القاعدتان الأساسيتان في المعادلة


يمكن أن يتم الجمع أو الطرح من طرفي المعادلة و هو نفس العدد الحقيقي، بدون أن يحدث أي تغير في المعادلة و هذه هي القاعدة الأولى، كما يمكن أن يتم الضرب أو القسمة على أحد طرفي المعادلة، و ذلك أيضا دون أن يحدث أي تغير في المعادلة و هي القاعدة الثانية.

و بصفة عامة نعتبر المعادلة هي ax + b = 0 و لنفترض أن  a يخالف، فيتم الاعتماد على القاعدة الأولى و الثانية في حل المعادلة بالخطوتين.

فالخطوة الأولى يتم طرح b من طرفي المعادلة ax + b – b = 0 – b فيكون الناتج ax  =  – b

و الخطوة الثانية يتم قسمة a على طرفي المعادلة ax ÷ a = -b ÷a فيتم الحصول على x  = -b/a

تعريفات


a و b و x هم أعداد حقيقية، و إذا كانت المعادلة متساوية و على شكل ax + b = 0 ففي هذه الحالة تسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد، و في حالة إن كان a يخالف 0 و b يخالف 0 فإن : المعادلة ax + b = 0 و يصبح حلا وحيدا هو b/a- ، وإذا كان  a يخالف 0 و b يساوي 0 فإن : المعادلة ax + b = 0 حــلا وحيدا هو العدد 0 ، إذا كان : a يساوي 0 و b يساوي 0 فإن : المعادلة ax + b = 0 تعطي عدة حلول، أما في حالة إن كان a يساوي 0 و b يخالف 0 فإن : المعادلة ax + b = 0 ليس لها أي حل.

بعض الأمثلة 2x – 4 = 0 =>  x = 4/2 => x = 2

3x + 8 = 0 =>  x = -8/3

7x  = 0 =>  x = -0/7 => x = 0

0x + 18 = 0 => وهي ليس لها حل.

و المعادلة ax + b = c x + d

تعتبر من المعادلات البسيطة فهي لا تختلف عن المعادلات السابقة، ففي هذه المعادلة يتم ظهور الحدود المجهولة في طرفي المعادلة، و الحدود المعلومة أيضا و تكون متفرقة في طرفي المعادلة، و في حلها يتم استخدام نفس القواعد الأولى و الثانية.

مثال:


المطلوب حل المعادلة 5x + 2 = 3x – 10

الحل


و هذه المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد و يمكن في حلها يتم اختصار بعض الحسابات، أولا يتم جمع الحدود الموجودة في الطرف الأيسر و تتضمن المجهول، مع تغير إشارة أي حد تم نقله من طرف إلى طرف آخر، ثانيا يتم جمع الحدود المعلومة الموجودة في الطرف الأيمن مع تغير إشارة أي حد ينقل من طرف إلى آخر، ثالثا يتم إجراء الحساب مع إيجاد القيمة x .

5x + 2 = 3x – 10 ، تحدد الحدود المجهولة في طرف و الحدود المعلومة في الطرف الآخر.

فتكون 2 – 5x – 3x =  – 10

بعد ذلك يتم الحساب و تبسط طرفي المعادلة 2x = -12

يتم قسمة طرفي المعادلة على 2، x = -12/2

بعد ذلك يتم إيجاد قيمة حل المعادلة و هي x = -6