شرح درس حل المعادلات التربيعية بيانيا
تعتبر مسألة حل المعادلات التربيعية واحدة من أهم المسائل الرياضية ، و التي لا يخلو منها أي امتحان ، و ذلك لأهميتها الشديدة للطلاب ، حيث أن هذا الدرس يوجد في الفصل الثامن من مادة رياضيات الصف الثالث المتوسط ، و الذي يطلب بعد ذلك تمثيل هذه المعادلات التربيعية بيانيا ، أي على الرسم البياني لمعرفة مجموعة الحل للمسألة ، و لذلك فقد اخترنا هذا الموضوع لشرحه تفصيليا للوصول إلى مجموعة الحل النهائية و معرفة طريقة الرسم البيانية للمعادلة التربيعية على شكل منحنى ، فلنبدأ الشرح .
يجب معرفة :
و قبل شرح هذا الدرس من الضروري أن يكون لديك معرفة سابقة ، بطريقة حل المعادلات التربيعية و ذلك بالتحليل إلى العوامل ، و يجب أن تكون قد سبق و درستها ، لأنها من أهم الخطوات التي سوف تساعدنا ، في الوصول إلى حل المعادلات التربيعية و تمثيلها على الرسم البياني ، كما أننا سوف نتمكن أيضا من حل المعادلات التربيعية من خلال التمثيل البياني ، و يجب معرفة أيضا الجذر المكرر و هو من أهم مفردات الرياضة في هذا الدرس .
حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى العوامل
و لأجل معرفة طريقة حل المعادلات التربيعية بيانيا فإنه يجب ذكر نبذة و طريقة حل لحل المعادلات بالتحليل إلى العوامل و التي سوف نشرحها في السؤال التالي :
حل المعادلة س
2
– 6س + 5 = صفر ، بالتحليل إلى عوامل
الإجابة :
نرى تركز المسألة في الطرف الأيمن من المعادلة و الطرف الأيسر هو يحتوي على الصفر و المعروف أنه يكون مقداره ثلاثي حدود تربيعي ، و ذلك لكي نتمكن من حل هذه المعادلة فإنه يجب العثور على رقمين و الذي يكون حاصل ضربهما 5 و مجموعهما – 6 ، و وفقا لهذه الأرقام فإن الرقمين هما – 1 ، – 5 .
إذن فإنه يمكننا أن نقول س
2
6 س +5 = صفر تتحول إلى هذا الشكل بالتعويض ( س – 5 ) (س – 1 ) = 0
فأصبح لدينا مقدارين و اللذان حاصل ضربهما معا يساوي صفر ، و هذا يعني أنه هناك واحد من المقدارين أو كلاهما يساوي الصفر و لذلك فإنه يجب التعويض و معرفة قيمة كل منهم و بهذه الطريقة سوف نجد ان :
س = 5 أو س = 1
و بذلك فإنه لو قمنا بالتعويض في المعادلة الأصلية سوف نجد الناتج صحيح .
مثال أخر :
حلل المعادلة س
2
– 7 س – 18 = صفر
الإجابة :
س
2
– 7 س – 18
( س – 9 ) ( س + 2 ) = صفر
إذن سوف تكون س = 9 أو س = – 2
حل المعادلات التربيعية بيانيا
و هذا النوع من المسائل يتكلم عن المسار المنحني ، و الذي يتمثل على محور السينات و محور الصادات ، و ذلك فإذا كانت الدالة ص = أس
2
+ ب س + جـ ، حيث أن تكون س هي المسافة الأفقية التي يقطعها المنحنى أما ص فهي تعبر عن الارتفاع على محور الصادات ، و بذلك فإنه يمكننا رسم محور السينات الأفقي و الذي يقطعه محور الصادات الرأسي مكون تمثيل بياني و الذي سوف نستخدمه لمعرفة مقدار المنحنى و إحداثياته .
كيف نحل المعادلة التربيعية بيانيا
و من المعروف أن القانون الرئيسي للمعادة التربيعية هو : أ س
2
+ ب س + جـ = صفر ، و ذلك حيث أن أ لا تساوي صفر ، و من الممكن كتابة الدالة التربيعية على هيئة معادلة و يمكن استبدال ص أو دالة (س) بالصفر ، و من الجدير بالذكر أيضا أنه يمكن أن يكون للمعادلة حلان أو حل واحد حقيقي و التي تكون هي مجموعة الحل أو لا يوجد أي حلول حقيقية ، و الرسم التالي يوضح أشكال المنحنيات على الرسم البياني الثلاثة و التي يمكن أن تكون حل المسألة واحدة منها .
مثال :
حل المعادلة التربيعية بيانيا
س
2
– 2س – 3 = صفر
الإجابة :
دالة (س) = س
2
– 2س – 3
إذن فإن المقطع الصادي هو – 3
و قانون محور التماثل هو : س = 2أ/-ب = 2(1)/-2 = 1
إذن فإن محور التماثل = 1
و عند التعويض يكون : دالة (1) = 1
2
– 2 (1) – 3 = 1 – 2 – 3 = – 4
إذن رأس المنحنى تكون عند ( 1 ، -4 )
و نقوم بتحديد هذه النقطة على الرسم البياني ، و من ثم نقوم بتجربة تعويض النقطة س = 3 و ص = صفر لمعرفة هل يمر هذا المنحنى بالنقطة ( 3 ، 0 ) أم لا
د (3) = 3
2
– 2(3) – 3 = – 9 – 6 – 3 = صفر
إذن نعم فإن المنحنى يمر بالنقطة ( 3 ، 0 ) و التي سوف نوصلها على الرسم البياني
و نقوم بتقدير النقطة الأخرى للتقاطع هي على نفس المسافة من محور التماثل أي أن هذه المعادلة لها حلان حقيقيان و تكون مجموعة الحل هي } 3 ، – 1 {
و الرسم التالي يوضح الرسم البياني لحل هذه المسألة .
